什麼是比例的誤差範圍？
誤差範圍（MOE）告訴你抽樣得到的比例，可能與母體真實比例相差多少。當你調查一批樣本，發現有 \(\hat{p}\) 比例的受訪者偏好某個選項時，誤差範圍就會在所選的信賴水準下，給出這個估計值的 ± 區間。這個計算器是通用工具——不論哪個國家、哪一種調查或民調都適用。
使用方式
請將樣本比例 \(\hat{p}\) 以 0 到 1 之間的小數輸入（例如 0.52 代表 52%），再輸入樣本數 \(n\)，並選擇信賴水準（90%、95% 或 99%）。工具會回傳以百分比表示的誤差範圍、標準誤、所採用的 \(z\) 臨界值，以及推算出的信賴區間，同時還會替你檢查「五倍法則」，讓你知道常態近似是否站得住腳。
公式說明
誤差範圍的公式為
$$\text{MOE} = z \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\left(1 - \hat{p}\right)}{n}}$$其中 \(\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\) 是比例的標準誤——樣本數 \(n\) 越大，它就越小。\(z\) 值則是標準常態分布的臨界值：90% 信賴水準為 1.645、95% 為 1.96、99% 為 2.576。把標準誤乘上 \(z\)，就能將區間放大到你想要的確定程度。
實例演算
假設在 1,000 位受訪選民中，有 52% 支持某項提案，因此 \(\hat{p} = 0.52\)、\(n = 1000\)，採 95% 信賴水準（\(z = 1.96\)）。標準誤為
$$\sqrt{\dfrac{0.52 \cdot 0.48}{1000}} = \sqrt{0.0002496} \approx 0.0158$$誤差範圍則是
$$1.96 \times 0.0158 \approx 0.0310$$約 3.1%。信賴區間為 52% ± 3.1%，大約落在 48.9% 到 55.1% 之間。
常見問題
什麼是五倍法則？它指出，當 \(n \cdot \hat{p} \geq 5\) 且 \(n \cdot (1-\hat{p}) \geq 5\) 同時成立時，比例的常態近似才算可靠。若其中任一項小於 5，就應改用精確方法，例如 Clopper–Pearson 區間。
為什麼比例未知時要用 \(\hat{p} = 0.5\)？因為 \(\hat{p}(1-\hat{p})\) 在 0.5 時達到最大，會得到最保守（最寬）的誤差範圍，這在規劃樣本數時相當常見。
樣本越大，誤差範圍真的會變小嗎？會的——由於 \(n\) 位於根號內的分母，誤差範圍會隨 \(1/\sqrt{n}\) 成比例縮小。
