什么是比例的误差幅度？
误差幅度（MOE，Margin of Error）告诉你样本比例与总体真实比例之间可能存在多大的偏差。当你对一个样本做调查、发现有比例为 \(\hat{p}\) 的受访者偏向某个选项时，误差幅度就给出了在选定置信水平下、围绕这一估计值的 ± 波动范围。本计算器具有通用性——无论身处哪个国家，任何问卷或民意调查都适用。
如何使用
将样本比例 \(\hat{p}\) 以 0 到 1 之间的小数形式输入（例如 0.52 表示 52%），填写样本量 \(n\)，再选择一个置信水平（90%、95% 或 99%）。计算器会返回以百分比表示的误差幅度、标准误、所用的 \(z\) 临界值，以及由此得到的置信区间。它还会同时检验"五倍法则"，让你判断正态近似是否成立。
公式详解
误差幅度的公式为
$$\text{MOE} = z \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\left(1 - \hat{p}\right)}{n}}$$其中 \(\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\) 是比例的标准误——随着样本量 \(n\) 增大，它会逐渐缩小。\(z\) 值是标准正态分布的临界值：90% 置信对应 1.645，95% 对应 1.96，99% 对应 2.576。把标准误乘以 \(z\)，就能把区间放缩到所需的确定性水平。
实例演算
假设在 1,000 名受访选民中有 52% 支持某项议案，即 \(\hat{p} = 0.52\)、\(n = 1000\)，置信水平取 95%（\(z = 1.96\)）。标准误为
$$\sqrt{\dfrac{0.52 \cdot 0.48}{1000}} = \sqrt{0.0002496} \approx 0.0158$$误差幅度为
$$1.96 \times 0.0158 \approx 0.0310$$约 3.1%。于是置信区间为 52% ± 3.1%，大致在 48.9% 到 55.1% 之间。
常见问题
什么是五倍法则？它指出，只有当 \(n \cdot \hat{p} \geq 5\) 且 \(n \cdot (1-\hat{p}) \geq 5\) 同时成立时，比例的正态近似才比较可靠。如果其中任意一项小于 5，就应改用精确方法，例如 Clopper–Pearson 区间。
比例未知时为什么取 \(\hat{p} = 0.5\)？因为 \(\hat{p}(1-\hat{p})\) 在 0.5 处取得最大值，会给出最保守（最宽）的误差幅度，这在样本量规划中非常常见。
样本量越大，误差幅度就越小吗？是的——由于 \(n\) 位于根号下的分母位置，误差幅度会随 \(1/\sqrt{n}\) 成比例减小。
