ما هو هامش الخطأ لنسبة في عينة؟
يخبرك هامش الخطأ (MOE) بمقدار الفرق المتوقع بين النسبة المحسوبة من العينة والنسبة الحقيقية في المجتمع الإحصائي بأكمله. فعندما تستطلع عينة وتجد أن جزءًا \(\hat{p}\) من المشاركين يفضّل خيارًا معيّنًا، يمنحك هامش الخطأ المدى (±) المحيط بهذا التقدير عند مستوى ثقة تختاره. هذه الحاسبة عامّة وصالحة لأي استطلاع أو استبيان في أي بلد كان.
طريقة الاستخدام
أدخل نسبة العينة \(\hat{p}\) كقيمة عشرية بين 0 و1 (فمثلًا 0.52 تعني 52%)، ثم أدخل حجم العينة \(n\)، واختر مستوى الثقة (90% أو 95% أو 99%). تعرض لك الأداة هامش الخطأ كنسبة مئوية، والخطأ المعياري، والقيمة الحرجة \(z\) المستخدمة، إضافةً إلى فترة الثقة الناتجة. كما تتحقق من «قاعدة الخمسة» لتعرف ما إذا كان التقريب الطبيعي صالحًا.
شرح الصيغة
يُحسب هامش الخطأ بالصيغة $$\text{MOE} = z \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\left(1 - \hat{p}\right)}{n}}$$ الحدّ \(\sqrt{\hat{p}\,(1-\hat{p})/n}\) هو الخطأ المعياري للنسبة، وهو يتقلّص كلما كبر حجم العينة \(n\). أما القيمة \(z\) فهي القيمة الحرجة من التوزيع الطبيعي المعياري: 1.645 لمستوى ثقة 90%، و1.96 لمستوى 95%، و2.576 لمستوى 99%. وضرب الخطأ المعياري في \(z\) يوسّع الفترة بما يتناسب مع درجة اليقين المطلوبة.
مثال محلول
لنفترض أن 52% من 1,000 ناخب شملهم الاستطلاع يؤيدون مقترحًا ما، أي أن \(\hat{p} = 0.52\) و\(n = 1000\)، عند مستوى ثقة 95% (\(z = 1.96\)). يكون الخطأ المعياري $$\sqrt{0.52 \cdot 0.48 / 1000} = \sqrt{0.0002496} \approx 0.0158$$ ويكون هامش الخطأ $$1.96 \times 0.0158 \approx 0.0310$$ أي نحو 3.1%. وعليه تكون فترة الثقة 52% ± 3.1%، أي من 48.9% إلى 55.1% تقريبًا.
الأسئلة الشائعة
ما هي قاعدة الخمسة؟ تنصّ على أن التقريب الطبيعي للنسبة يكون موثوقًا عندما يكون كل من \(n \cdot \hat{p} \geq 5\) و\(n \cdot (1-\hat{p}) \geq 5\). وإذا انخفضت أي من القيمتين عن 5، فاستخدم طريقة دقيقة بديلة مثل فترة كلوبر-بيرسون.
لماذا نستخدم \(\hat{p} = 0.5\) عند جهل النسبة؟ لأن الحاصل \(\hat{p}(1-\hat{p})\) يبلغ أقصى قيمة له عند 0.5، مما يعطي أوسع هامش خطأ (الأكثر تحفظًا)، وهو أمر شائع عند التخطيط لحجم العينة.
هل تكبير العينة يقلّل هامش الخطأ؟ نعم — لأن \(n\) موجود في المقام تحت الجذر التربيعي، فإن هامش الخطأ يتناقص بنسبة \(1/\sqrt{n}\).
