ما هو مجموع أول N من الأعداد الطبيعية؟
الأعداد الطبيعية هي أعداد العدّ 1، 2، 3، 4، وهكذا. وعند جمعها بالترتيب — 1 + 2 + 3 + ... + n — نحصل على قيمة تتزايد بسرعة كلما كبرت قيمة n. وبدلًا من جمع كل حدّ على حدة، يمكنك استخدام قانون مغلق واحد للحصول على الناتج في لحظة، مهما بلغ حجم n.
القانون
يُعطى مجموع أول n من الأعداد الطبيعية بالعلاقة:
$$S_n = \frac{\text{n}\left(\text{n}+1\right)}{2}$$
وهذه حالة خاصة من مجموع المتتالية الحسابية، حيث الحدّ الأول هو 1، والفرق المشترك بين الحدود هو 1، وعدد الحدود هو \(n\). وتروي القصة أن العالِم كارل فريدريش غاوس اكتشف هذه الحيلة وهو صغير، إذ قام بجمع الحدّ الأول مع الأخير \((1 + n)\)، ثم الثاني مع ما قبل الأخير \((2 + n-1)\)، وهكذا — فيكون مجموع كل زوج \((n + 1)\)، ويبلغ عدد هذه الأزواج \(n/2\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عدد الحدود (n) — أي عدد الأعداد الطبيعية المتتالية بدءًا من 1 التي تريد جمعها. اضغط على زر الحساب لتعرض الأداة المجموع الكلي، وعدد الحدود، ومتوسط هذه الحدود. استخدم أعدادًا صحيحة موجبة فقط.
مثال محلول
لنفترض أن \(n = 100\). بالتعويض في القانون: $$S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10{,}100}{2} = 5{,}050.$$ إذًا مجموع جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100 يساوي 5,050. ويكون متوسط الحدّ \(\frac{100 + 1}{2} = 50.5\).
الأسئلة الشائعة
هل يشمل ذلك الصفر؟ لا. تبدأ الأعداد الطبيعية هنا من 1، فتكون المتتالية \(1 + 2 + ... + n\).
لماذا نقسم على 2؟ لأن جمع الحدود من الطرفين يكوّن \(n/2\) من الأزواج، يساوي كل منها \((n + 1)\)، فيكون المجموع \(\frac{n(n + 1)}{2}\).
هل يمكنني استخدامها لقيم كبيرة من n؟ نعم. لأنها تعتمد على قانون مغلق بدلًا من التكرار، تظهر النتائج فورًا حتى مع القيم الكبيرة جدًا لـ n.
