¿Qué es la suma de los primeros N números naturales?
Los números naturales son los números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente. Si los sumamos en orden —1 + 2 + 3 + ... + n— obtenemos un valor que crece muy deprisa a medida que aumenta n. En lugar de ir sumando término a término, puedes utilizar una única fórmula cerrada que te da el resultado al instante, por grande que sea n.
La fórmula
La suma de los primeros n números naturales se obtiene con:
$$S_n = \frac{n\left(n+1\right)}{2}$$
Se trata de un caso particular de la suma de una progresión aritmética, en la que el primer término es 1, la diferencia común es 1 y hay n términos. Cuenta la leyenda que un joven Carl Friedrich Gauss descubrió este truco emparejando el primer término con el último \((1 + n)\), el segundo con el penúltimo \((2 + n-1)\), y así sucesivamente: cada pareja suma \((n + 1)\) y hay \(n/2\) parejas en total.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de términos (n), es decir, cuántos números naturales quieres sumar empezando desde 1. Pulsa en calcular y la herramienta te devolverá la suma total, el número de términos y la media de esos términos. Utiliza únicamente números enteros positivos.
Ejemplo resuelto
Supongamos que n = 100. Al aplicar la fórmula:
$$S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10.100}{2} = 5.050$$Por tanto, la suma de todos los números enteros del 1 al 100 es 5.050. La media de los términos es \(\frac{100 + 1}{2} = 50{,}5\).
Preguntas frecuentes
¿Incluye el cero? No. Aquí los números naturales empiezan en 1, por lo que la serie es 1 + 2 + ... + n.
¿Por qué se divide entre 2? Al emparejar los términos desde ambos extremos se obtienen \(n/2\) parejas, y cada una suma \((n + 1)\), de modo que el total es \(\frac{n(n + 1)}{2}\).
¿Puedo usarla con valores grandes de n? Sí. Como emplea una fórmula cerrada en lugar de recorrer cada número uno a uno, los resultados son instantáneos incluso para valores de n muy elevados.
