Что такое сумма первых N натуральных чисел?
Натуральные числа — это числа, которыми мы считаем: 1, 2, 3, 4 и так далее. Если складывать их по порядку — 1 + 2 + 3 + … + n — итог будет расти очень быстро с увеличением n. Но складывать каждое слагаемое вручную вовсе не обязательно: достаточно одной готовой формулы, чтобы получить ответ мгновенно, каким бы большим ни было n.
Формула
Сумма первых n натуральных чисел вычисляется так:
$$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$
Это частный случай суммы арифметической прогрессии, где первый член равен 1, разность равна 1, а всего n членов. По легенде, к этому приёму ещё в детстве пришёл будущий математик Карл Фридрих Гаусс: он сложил первое и последнее число \((1 + n)\), второе и предпоследнее \((2 + n-1)\) и так далее. Каждая такая пара в сумме даёт \((n + 1)\), а всего таких пар — \(n/2\).
Как пользоваться калькулятором
Введите количество членов (n) — то есть сколько натуральных чисел, начиная с 1, вы хотите сложить. Нажмите «Рассчитать», и калькулятор покажет общую сумму, число слагаемых и их среднее значение. Используйте только целые положительные числа.
Разбор примера
Пусть n = 100. Подставляем в формулу: $$S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10\,100}{2} = 5050.$$ Значит, сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050. Среднее значение слагаемых — \(\frac{100 + 1}{2} = 50{,}5\).
Частые вопросы
Учитывается ли ноль? Нет. Здесь натуральные числа начинаются с 1, поэтому ряд имеет вид 1 + 2 + … + n.
Почему мы делим на 2? При объединении чисел с двух концов получается \(n/2\) пар, и каждая в сумме даёт \((n + 1)\). Поэтому итог равен \(\frac{n(n + 1)}{2}\).
Подойдёт ли формула для больших n? Да. Калькулятор использует готовую формулу, а не перебор слагаемых, поэтому результат появляется мгновенно даже при очень больших значениях n.
