Что такое сумма геометрической прогрессии?
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем (\(r\)). Например, 2, 6, 18, 54 — это геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 2\) и знаменателем \(r = 3\). Сумма первых \(n\) членов называется частичной суммой и обозначается \(S_n\). Наш калькулятор мгновенно вычисляет \(S_n\) по значениям \(a_1\), \(r\) и \(n\).
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: первый член (\(a_1\)), знаменатель прогрессии (\(r\)) и количество членов, которые нужно сложить (\(n\)). Калькулятор выдаст итоговую сумму, последний член \(a_n\) и подтвердит, сколько членов было просуммировано. Поддерживаются как положительные, так и отрицательные знаменатели, а также дроби и десятичные числа.
Разбор формулы
При \(r \neq 1\) используется готовая формула
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$Её выводят так: записывают сумму, умножают её на \(r\) и вычитают одно выражение из другого — при этом почти все члены сокращаются. Если же \(r = 1\), то все члены равны \(a_1\), поэтому сумма равна просто \(S_n = a_1 \times n\), а стандартная формула здесь неприменима (получилось бы деление на ноль). Калькулятор обрабатывает случай \(r = 1\) автоматически.
Пример с решением
Пусть \(a_1 = 2\), \(r = 3\), \(n = 5\). Тогда \(r^n = 3^5 = 243\), поэтому
$$S_n = \frac{2(1 - 243)}{1 - 3} = \frac{2(-242)}{-2} = 242$$Проверить можно прямым сложением членов: \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\). Последний член \(a_n = 2 \times 3^4 = 162\).
Частые вопросы
А если знаменатель находится в диапазоне от −1 до 1? Формула по-прежнему работает для любого конечного \(n\). Для бесконечной суммы при \(|r| < 1\) используйте формулу \(S = \dfrac{a_1}{1 - r}\).
Может ли знаменатель быть отрицательным? Да. Отрицательный знаменатель даёт знакочередующуюся прогрессию, и формула корректно с этим справляется.
Что происходит при \(r = 1\)? Прогрессия становится постоянной, поэтому \(S_n = a_1 \times n\). Калькулятор определяет этот случай автоматически, чтобы избежать деления на ноль.
