Что такое гипотеза Коллатца?
Гипотеза Коллатца, известная также как задача 3n+1, — одна из самых знаменитых нерешённых проблем в математике. Возьмите любое натуральное число. Если оно чётное, разделите его на два. Если нечётное — умножьте на три и прибавьте один. Затем повторите процедуру с каждым новым числом. Гипотеза утверждает: с какого бы числа вы ни начали, последовательность рано или поздно придёт к единице.
Как пользоваться калькулятором
Введите любое целое положительное число — и инструмент сам построит полную последовательность Коллатца. Он покажет время остановки (количество шагов, необходимых для достижения 1) и максимальное значение, до которого взлетает ряд, прежде чем снова пойти на спад. Это отличный способ увидеть, насколько по-разному ведут себя разные стартовые числа.
Разбор формулы
Правило задаётся кусочно: \(f(n) = n/2\), если \(n\) чётное, и \(f(n) = 3n + 1\), если \(n\) нечётное. Как только достигается значение 1, последовательность зацикливается: 1, 4, 2, 1, поэтому калькулятор прекращает подсчёт на единице. Общее число применений функции \(f\) и есть время остановки.
$$f(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{if } n \equiv 0 \pmod{2} \\[0.6em] 3n+1 & \text{if } n \equiv 1 \pmod{2} \end{cases} \qquad n_0 = \text{Starting number}$$
Разбор на примере
Начнём с 6. Число чётное, поэтому \(6 \to 3\) (шаг 1). 3 нечётное, поэтому \(3 \to 10\) (шаг 2). Далее: \(10 \to 5\) (шаг 3), \(5 \to 16\) (шаг 4), \(16 \to 8\) (шаг 5), \(8 \to 4\) (шаг 6), \(4 \to 2\) (шаг 7), \(2 \to 1\) (шаг 8). Понадобилось 8 шагов, а наибольшее достигнутое значение — 16.
Частые вопросы
Доказана ли гипотеза? Нет. Её проверили на компьютере для колоссальных диапазонов чисел, но общего доказательства до сих пор не существует.
Почему последовательность иногда становится такой большой? На нечётных шагах число умножается на три, поэтому серия преимущественно нечётных значений может «подбросить» числа очень высоко, прежде чем деления пополам вернут их вниз.
Что означает время остановки? Это просто количество раз, которое правило применяется до того момента, когда значение впервые станет равным 1.
