ما هي حدسية كولاتز؟
حدسية كولاتز، المعروفة أيضًا باسم مسألة 3n+1، هي واحدة من أشهر المسائل غير المحلولة في الرياضيات. ابدأ بأي عدد صحيح موجب: إذا كان زوجيًا فاقسمه على اثنين، وإذا كان فرديًا فاضربه في ثلاثة ثم أضف واحدًا، ثم كرّر العملية مع كل عدد جديد تحصل عليه. تقول الحدسية إنك مهما اخترت العدد الذي تبدأ به، فإن المتتالية ستصل في النهاية إلى الرقم 1.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أي عدد صحيح موجب، وتقوم الأداة بتوليد متتالية كولاتز كاملة خلف الكواليس. تعرض لك الحاسبة زمن التوقف (عدد الخطوات اللازمة للوصول إلى 1) وأعلى قيمة ترتفع إليها المتتالية قبل أن تعود هابطة. إنها طريقة رائعة لاستكشاف مدى الاختلاف الكبير في سلوك الأعداد عند بدئها من قيم مختلفة.
شرح الصيغة الرياضية
تُعرَّف القاعدة على مرحلتين:
$$f(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{if } n \equiv 0 \pmod{2} \\[0.6em] 3n+1 & \text{if } n \equiv 1 \pmod{2} \end{cases} \qquad n_0 = \text{Starting number}$$\(f(n) = n/2\) عندما يكون \(n\) زوجيًا، و\(f(n) = 3n + 1\) عندما يكون \(n\) فرديًا. وبمجرد الوصول إلى القيمة 1 تدخل المتتالية في الحلقة المتكررة 1، 4، 2، 1، ولذلك تتوقف الحاسبة عن العدّ عند الرقم 1. ويمثّل العدد الإجمالي لمرات تطبيق الدالة \(f\) زمنَ التوقف.
مثال محلول
لنبدأ بالعدد 6. هو عدد زوجي، إذًا \(6 \rightarrow 3\) (الخطوة 1). والعدد 3 فردي، إذًا \(3 \rightarrow 10\) (الخطوة 2). ثم \(10 \rightarrow 5\) (الخطوة 3)، و\(5 \rightarrow 16\) (الخطوة 4)، و\(16 \rightarrow 8\) (الخطوة 5)، و\(8 \rightarrow 4\) (الخطوة 6)، و\(4 \rightarrow 2\) (الخطوة 7)، و\(2 \rightarrow 1\) (الخطوة 8). إذًا يستغرق الأمر 8 خطوات، وأعلى قيمة تم بلوغها هي 16.
الأسئلة الشائعة
هل تم إثبات الحدسية؟ لا. لقد جرى التحقق منها بالحاسوب على نطاقات هائلة من الأعداد، لكن لا يوجد حتى الآن أي برهان عام يثبتها.
لماذا تصبح قيمة المتتالية كبيرة جدًا أحيانًا؟ لأن الخطوات الفردية تضرب العدد في ثلاثة، فإن تتابع عدد من القيم الفردية قد يدفع الأعداد إلى الارتفاع كثيرًا قبل أن تعيدها خطوات القسمة على اثنين إلى الانخفاض.
ماذا يعني زمن التوقف؟ هو ببساطة عدد المرات التي تُطبَّق فيها القاعدة قبل أن تصل القيمة إلى 1 لأول مرة.
