Giả thuyết Collatz là gì?
Giả thuyết Collatz, hay còn được gọi là bài toán 3n+1, là một trong những bài toán chưa có lời giải nổi tiếng nhất của toán học. Bạn bắt đầu với một số nguyên dương bất kỳ. Nếu số đó chẵn, hãy chia cho hai. Nếu số đó lẻ, hãy nhân với ba rồi cộng thêm một. Sau đó tiếp tục lặp lại quy trình này với mỗi số mới thu được. Giả thuyết khẳng định rằng dù bạn xuất phát từ số nào đi nữa, dãy số rốt cuộc cũng sẽ về tới 1.
Cách dùng máy tính này
Bạn chỉ cần nhập một số nguyên dương bất kỳ, công cụ sẽ tự động tạo ra toàn bộ dãy Collatz phía sau. Kết quả hiển thị bao gồm thời gian dừng (số bước cần thiết để về tới 1) và giá trị cao nhất mà dãy số vọt lên trước khi rơi trở lại. Đây là cách thú vị để khám phá xem những số xuất phát khác nhau lại "hành xử" khác biệt đến mức nào.
Giải thích công thức
Quy tắc được định nghĩa theo từng trường hợp:
$$f(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{if } n \equiv 0 \pmod{2} \\[0.6em] 3n+1 & \text{if } n \equiv 1 \pmod{2} \end{cases} \qquad n_0 = \text{Starting number}$$tức là \(f(n) = n/2\) khi \(n\) chẵn, và \(f(n) = 3n + 1\) khi \(n\) lẻ. Một khi chạm tới giá trị 1, dãy số sẽ rơi vào vòng lặp 1, 4, 2, 1, nên máy tính sẽ dừng đếm ngay tại 1. Tổng số lần áp dụng hàm \(f\) cho đến lúc đó chính là thời gian dừng.
Ví dụ minh họa
Hãy bắt đầu với số 6. Đây là số chẵn nên \(6 \to 3\) (bước 1). Số 3 lẻ nên \(3 \to 10\) (bước 2). Tiếp theo \(10 \to 5\) (bước 3), \(5 \to 16\) (bước 4), \(16 \to 8\) (bước 5), \(8 \to 4\) (bước 6), \(4 \to 2\) (bước 7), \(2 \to 1\) (bước 8). Như vậy cần tổng cộng 8 bước và giá trị cao nhất đạt được là 16.
Câu hỏi thường gặp
Giả thuyết đã được chứng minh chưa? Chưa. Người ta đã dùng máy tính kiểm chứng cho những khoảng số cực kỳ lớn, nhưng vẫn chưa ai tìm được một chứng minh tổng quát.
Vì sao đôi khi dãy số lại tăng vọt lên rất lớn? Các bước với số lẻ sẽ nhân giá trị lên gấp ba, nên một chuỗi liên tiếp toàn số lẻ có thể đẩy con số lên rất cao trước khi những bước chia đôi kéo nó xuống lại.
Thời gian dừng nghĩa là gì? Đó đơn giản là số lần quy tắc được áp dụng cho đến khi giá trị lần đầu tiên bằng 1.
