¿Qué es la conjetura de Collatz?
La conjetura de Collatz, también conocida como el problema 3n+1, es uno de los enigmas sin resolver más célebres de las matemáticas. Empieza con cualquier número entero positivo. Si es par, divídelo entre dos. Si es impar, multiplícalo por tres y súmale uno. Después repite el proceso con cada número que vayas obteniendo. La conjetura afirma que, sin importar el número con el que empieces, la secuencia siempre acaba llegando a 1.
Cómo usar esta calculadora
Introduce cualquier número entero positivo y la herramienta genera internamente la secuencia completa de Collatz. Te muestra el tiempo de parada (la cantidad de pasos necesarios para llegar a 1) y el valor más alto que alcanza la secuencia antes de volver a bajar. Es una forma estupenda de explorar lo distinto que se comportan números de partida aparentemente parecidos.
La fórmula explicada
La regla se define por tramos: \(f(n) = n/2\) cuando \(n\) es par, y \(f(n) = 3n + 1\) cuando \(n\) es impar.
$$f(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{if } n \equiv 0 \pmod{2} \\[0.6em] 3n+1 & \text{if } n \equiv 1 \pmod{2} \end{cases} \qquad n_0 = \text{Starting number}$$En cuanto se alcanza el valor 1, la secuencia entra en el ciclo 1, 4, 2, 1, así que la calculadora deja de contar al llegar a 1. El número total de veces que se aplica \(f\) es el tiempo de parada.
Ejemplo resuelto
Empezamos con 6. Es par, así que \(6 \to 3\) (paso 1). 3 es impar, por lo que \(3 \to 10\) (paso 2). Luego \(10 \to 5\) (paso 3), \(5 \to 16\) (paso 4), \(16 \to 8\) (paso 5), \(8 \to 4\) (paso 6), \(4 \to 2\) (paso 7) y \(2 \to 1\) (paso 8). Hacen falta 8 pasos y el valor más alto alcanzado es 16.
Preguntas frecuentes
¿Se ha demostrado la conjetura? No. Se ha verificado por ordenador para rangos enormes de números, pero no existe una demostración general.
¿Por qué a veces la secuencia se dispara tanto? Los pasos impares multiplican por tres, de modo que una racha con muchos valores impares puede llevar los números muy alto antes de que las divisiones a la mitad los hagan bajar.
¿Qué significa el tiempo de parada? Es simplemente el recuento de cuántas veces se aplica la regla antes de que el valor sea igual a 1 por primera vez.
