Qu'est-ce que la conjecture de Collatz ?
La conjecture de Collatz, également connue sous le nom de problème 3n+1, est l'un des problèmes non résolus les plus célèbres des mathématiques. Choisissez un entier positif quelconque. S'il est pair, divisez-le par deux. S'il est impair, multipliez-le par trois et ajoutez un. Répétez l'opération avec chaque nouveau nombre obtenu. La conjecture affirme que, quel que soit le nombre de départ, la suite finit toujours par atteindre 1.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez un nombre entier positif et l'outil génère en coulisses la suite de Collatz complète. Il indique le temps d'arrêt (le nombre d'étapes nécessaires pour atteindre 1) ainsi que la valeur la plus élevée que la suite atteint avant de redescendre. C'est une excellente façon d'explorer à quel point des nombres de départ très différents peuvent se comporter de manière surprenante.
La formule expliquée
La règle se définit par morceaux :
$$f(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{if } n \equiv 0 \pmod{2} \\[0.6em] 3n+1 & \text{if } n \equiv 1 \pmod{2} \end{cases} \qquad n_0 = \text{Starting number}$$\(f(n) = n/2\) lorsque \(n\) est pair, et \(f(n) = 3n + 1\) lorsque \(n\) est impair. Dès que la valeur 1 est atteinte, la suite entre dans le cycle 1, 4, 2, 1 ; le calculateur arrête donc le décompte à 1. Le nombre total d'applications de \(f\) nécessaires correspond au temps d'arrêt.
Exemple détaillé
Partons de 6. Il est pair, donc \(6 \to 3\) (étape 1). 3 est impair, donc \(3 \to 10\) (étape 2). Ensuite \(10 \to 5\) (étape 3), \(5 \to 16\) (étape 4), \(16 \to 8\) (étape 5), \(8 \to 4\) (étape 6), \(4 \to 2\) (étape 7), \(2 \to 1\) (étape 8). Il faut donc 8 étapes, et la valeur la plus élevée atteinte est 16.
Foire aux questions
La conjecture a-t-elle été démontrée ? Non. Elle a été vérifiée par ordinateur sur d'immenses plages de nombres, mais aucune démonstration générale n'existe à ce jour.
Pourquoi la suite devient-elle parfois aussi grande ? Les étapes impaires multiplient par trois ; ainsi, une succession de valeurs impaires peut faire grimper les nombres très haut avant que les divisions par deux ne les fassent redescendre.
Que signifie le temps d'arrêt ? Il s'agit simplement du nombre de fois où la règle est appliquée avant que la valeur n'atteigne 1 pour la première fois.
