À quoi sert le calculateur de transposée de matrice
Cet outil calcule la transposée (notée \(A^{\mathsf{T}}\)) de n'importe quelle matrice que vous saisissez. Transposer une matrice revient à la faire basculer autour de sa diagonale principale : chaque ligne devient une colonne et chaque colonne devient une ligne. Le calculateur analyse votre saisie, reconstruit la matrice d'origine, puis affiche \(A^{\mathsf{T}}\) ainsi que les dimensions des deux matrices, afin que vous puissiez vérifier votre travail en un coup d'œil.
Comment saisir votre matrice
Un seul champ est nécessaire : Saisir la matrice. Le format est très simple :
- Séparez les valeurs d'une même ligne par des virgules.
- Utilisez une barre verticale
|pour commencer une nouvelle ligne. - Les valeurs peuvent être des entiers ou des nombres décimaux (ils sont interprétés avec une précision décimale exacte).
Par exemple, 1, 2, 3 | 4, 5, 6 décrit une matrice 2×3 dont les lignes sont [1, 2, 3] et [4, 5, 6]. Les espaces superflus autour des nombres sont automatiquement supprimés : une mise en forme aérée ne pose donc aucun problème.
La formule expliquée
La transposée se définit élément par élément ainsi :
$$\left(A^{\mathsf{T}}\right)_{ij} = A_{ji}$$
En clair, l'élément situé à la ligne i, colonne j de la matrice transposée est égal à l'élément situé à la ligne j, colonne i de la matrice d'origine. Si A est une matrice m×n (m lignes, n colonnes), alors \(A^{\mathsf{T}}\) est une matrice n×m. Le calculateur le confirme en indiquant le nombre de lignes et de colonnes de la matrice d'origine et de sa transposée.
Exemple concret
Saisissez : 1, 2, 3 | 4, 5, 6
Il s'agit d'une matrice 2×3 :
- Ligne 1 : 1, 2, 3
- Ligne 2 : 4, 5, 6
En appliquant \(\left(A^{\mathsf{T}}\right)_{ij} = A_{ji}\), chaque ligne d'origine devient une colonne. Le résultat est une matrice 3×2 :
- Ligne 1 : 1, 4
- Ligne 2 : 2, 5
- Ligne 3 : 3, 6
Remarquez que les dimensions sont passées de 2×3 à 3×2, exactement comme le prévoit la formule.
Questions fréquentes
Toutes les lignes doivent-elles comporter le même nombre de valeurs ? Oui. Le calculateur se base sur la longueur de la première ligne pour déterminer le nombre de colonnes : chaque ligne doit donc contenir le même nombre de valeurs séparées par des virgules pour obtenir un résultat rectangulaire correct.
Puis-je transposer une seule ligne ou colonne (un vecteur) ? Tout à fait. Saisir 1, 2, 3 (une seule ligne) donne une colonne 3×1, tandis que 1 | 2 | 3 donne une ligne 1×3. La transposition fait passer d'un vecteur ligne à un vecteur colonne, et inversement.
Que se passe-t-il si je transpose \(A^{\mathsf{T}}\) une seconde fois ? Vous retrouvez la matrice d'origine, car \(\left(A^{\mathsf{T}}\right)^{\mathsf{T}} = A\). C'est un moyen rapide de vérifier que votre saisie a bien été interprétée.
