행렬 전치 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 입력한 행렬의 전치행렬(\(A^{\mathsf{T}}\)로 표기)을 계산합니다. 행렬을 전치한다는 것은 주대각선을 기준으로 행렬을 뒤집는 것으로, 모든 행이 열이 되고 모든 열이 행이 됩니다. 계산기는 입력값을 분석해 원래 행렬을 만든 뒤, \(A^{\mathsf{T}}\)와 함께 두 행렬의 크기(차원)까지 알려주므로 결과를 빠르게 확인할 수 있습니다.
행렬 입력 방법
입력란은 행렬 입력 하나뿐입니다. 형식은 아주 간단합니다.
- 한 행 안의 값들은 쉼표(,)로 구분합니다.
- 세로 막대
|를 사용해 다음 행을 시작합니다. - 값은 정수나 소수 모두 가능합니다(정확한 소수 정밀도로 읽어들입니다).
예를 들어 1, 2, 3 | 4, 5, 6 은 [1, 2, 3]과 [4, 5, 6]을 행으로 갖는 2×3 행렬을 나타냅니다. 숫자 앞뒤의 불필요한 공백은 자동으로 정리되므로 보기 좋게 띄어 써도 문제없습니다.
공식 풀이
전치행렬은 각 원소 단위로 다음과 같이 정의됩니다.
$$\left(A^{\mathsf{T}}\right)_{ij} = A_{ji}$$
쉽게 말해, 전치행렬에서 i행 j열에 있는 값은 원래 행렬의 j행 i열 값과 같습니다. 원래 행렬 \(A\)가 \(m \times n\) 행렬(\(m\)행, \(n\)열)이라면, \(A^{\mathsf{T}}\)는 \(n \times m\) 행렬이 됩니다. 계산기는 원래 행렬의 행/열 수와 전치 후의 행/열 수를 함께 표시해 이를 확인시켜 줍니다.
예제로 살펴보기
입력: 1, 2, 3 | 4, 5, 6
이것은 2×3 행렬입니다.
- 1행: 1, 2, 3
- 2행: 4, 5, 6
\(\left(A^{\mathsf{T}}\right)_{ij} = A_{ji}\) 를 적용하면 원래의 각 행이 열로 바뀝니다. 결과는 3×2 행렬입니다.
- 1행: 1, 4
- 2행: 2, 5
- 3행: 3, 6
공식이 예측한 대로 크기가 2×3에서 3×2로 바뀐 것을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
모든 행의 값 개수가 같아야 하나요? 네. 계산기는 첫 번째 행의 길이를 기준으로 열의 개수를 정하므로, 올바른 직사각형 형태의 결과를 얻으려면 각 행에 쉼표로 구분된 값이 동일한 개수만큼 있어야 합니다.
행 하나 또는 열 하나(벡터)도 전치할 수 있나요? 물론입니다. 1, 2, 3(한 행)을 입력하면 3×1 열벡터가 되고, 1 | 2 | 3을 입력하면 1×3 행벡터가 됩니다. 전치는 행벡터와 열벡터를 서로 바꿔 줍니다.
\(A^{\mathsf{T}}\)를 다시 한 번 전치하면 어떻게 되나요? 원래 행렬로 되돌아옵니다. \(\left(A^{\mathsf{T}}\right)^{\mathsf{T}} = A\) 이기 때문입니다. 입력이 제대로 읽혔는지 빠르게 확인하는 방법이기도 합니다.
