행렬식이란?
행렬식(determinant)은 정사각행렬의 원소들로부터 계산되는 하나의 숫자입니다. 이 값을 보면 행렬에 역행렬이 존재하는지(0이 아니면 존재함), 선형변환이 넓이나 부피를 얼마나 확대·축소하는지, 그리고 연립방정식이 유일한 해를 갖는지를 알 수 있습니다. 이 계산기는 선형대수 수업에서 가장 자주 다루는 두 가지 경우, 즉 2×2와 3×3 행렬을 지원합니다.
계산기 사용법
먼저 행렬의 크기(2×2 또는 3×3)를 선택하세요. 그런 다음 각 칸에 표시된 위치에 맞춰 원소를 입력합니다. a11은 왼쪽 위, a33은 오른쪽 아래 원소입니다. 2×2 행렬을 선택하면 왼쪽 위 블록(a11, a12, a21, a22)만 사용되고 나머지 칸은 무시됩니다. 계산하기 버튼을 누르면 행렬식이 즉시 표시되며, 3×3 여인수 전개에 사용된 중간 단계의 2×2 소행렬식까지 함께 보여 드립니다.
공식 설명
윗줄에 a, b, 아랫줄에 c, d가 있는 2×2 행렬의 행렬식은 간단히 \(ad - bc\)입니다. 3×3 행렬의 경우 첫 번째 행을 기준으로 여인수 전개를 사용합니다. 즉, 첫 번째 행의 각 원소에, 그 원소가 속한 행과 열을 지웠을 때 남는 2×2 행렬의 행렬식(소행렬식, minor)을 곱하고, 부호를 번갈아(+, −, +) 적용해 더합니다.
$$\det A = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$$$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
예제로 풀어보기
각 행이 (1, 2, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 0)인 행렬을 살펴봅시다. 소행렬식은 \(M_{11} = 1\cdot0 - 4\cdot6 = -24\), \(M_{12} = 0\cdot0 - 4\cdot5 = -20\), \(M_{13} = 0\cdot6 - 1\cdot5 = -5\) 입니다. 따라서 다음과 같이 됩니다.
$$\det A = 1\cdot(-24) - 2\cdot(-20) + 3\cdot(-5) = -24 + 40 - 15 = \mathbf{1}$$자주 묻는 질문
행렬식이 0이면 어떤 의미인가요? 그 행렬은 특이행렬(singular matrix)입니다. 즉 역행렬이 존재하지 않으며, 이와 관련된 연립방정식도 유일한 해를 갖지 않습니다.
행렬식이 음수가 될 수도 있나요? 네, 가능합니다. 음의 행렬식은 선형변환이 방향(orientation)을 뒤집는다는 뜻입니다. 그래도 절댓값은 여전히 넓이나 부피의 확대·축소 비율을 나타냅니다.
더 큰 행렬도 계산할 수 있나요? 이 도구는 가장 자주 필요한 2×2와 3×3 행렬을 지원합니다. 더 큰 행렬의 행렬식은 보통 행 줄임(row reduction) 방법으로 계산합니다.
