Что такое определитель матрицы?
Определитель — это одно число, которое вычисляется по элементам квадратной матрицы. Он показывает, обратима ли матрица (ненулевой определитель означает, что да), во сколько раз линейное преобразование меняет площадь или объём, а также есть ли у системы уравнений единственное решение. Этот калькулятор работает с двумя самыми распространёнными случаями из курса линейной алгебры — матрицами 2×2 и 3×3.
Как пользоваться калькулятором
Выберите размер матрицы (2×2 или 3×3). Впишите каждый элемент в подписанную ячейку: a11 — это левый верхний элемент, а a33 — правый нижний. Для матрицы 2×2 учитывается только левый верхний блок (a11, a12, a21, a22), остальные поля игнорируются. Нажмите «Вычислить» — определитель появится сразу же вместе с промежуточными минорами 2×2, которые используются при разложении 3×3 по алгебраическим дополнениям.
Разбор формулы
Для матрицы 2×2 с элементами a и b в верхней строке и c и d в нижней определитель равен просто ad − bc. Для матрицы 3×3 применяется разложение по первой строке: каждый элемент первой строки умножается на определитель матрицы 2×2, которая остаётся после вычёркивания строки и столбца этого элемента (его минор), причём знаки чередуются (+, −, +).
$$\det A = ad - bc$$$$\det A = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$$$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
Разбор примера
Возьмём матрицу со строками (1, 2, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 0). Миноры таковы: \(M_{11} = 1\cdot0 - 4\cdot6 = -24\), \(M_{12} = 0\cdot0 - 4\cdot5 = -20\), \(M_{13} = 0\cdot6 - 1\cdot5 = -5\). Тогда $$\det A = 1\cdot(-24) - 2\cdot(-20) + 3\cdot(-5) = -24 + 40 - 15 = \mathbf{1}.$$
Частые вопросы
Что означает нулевой определитель? Матрица вырожденная — у неё нет обратной, а связанная с ней система уравнений не имеет единственного решения.
Может ли определитель быть отрицательным? Да. Отрицательный определитель говорит о том, что линейное преобразование меняет ориентацию на противоположную; при этом его абсолютная величина по-прежнему показывает коэффициент изменения площади или объёма.
Работает ли калькулятор с матрицами большего размера? Этот инструмент рассчитан на матрицы 2×2 и 3×3 — именно они нужны чаще всего. Определители больших матриц обычно вычисляют методом приведения к ступенчатому виду.
