Калькулятор нормального CDF — вероятность P(Z < z)

Введите расчет

Z-оценка (z)

Среднее (μ)

Стандартное отклонение (σ)

Enter a raw value in z with μ and σ to standardize, or leave μ=0 and σ=1 to use z directly.

Результатов

P(Z < z) = Φ(z)

0,975002

97,5002% of the distribution lies below z

Стандартизованное z	1,96
Левый хвост P(Z < z)	0,975002
Правый хвост P(Z > z)	0,024998
Процентиль	97,5002%

Что считает этот калькулятор

Инструмент вычисляет функцию распределения стандартного нормального закона (CDF), которую обозначают \(\Phi(z)\) или \(P(Z < z)\). Он показывает вероятность того, что нормально распределённая случайная величина окажется ниже заданной z-оценки. Дополнительно выводятся вероятность правого хвоста \(P(Z > z)\) и соответствующий процентиль. Это универсальный статистический инструмент — он работает в любой стране и не привязан к каким-либо национальным особенностям.

\(P(Z < z) = \Phi(z)\) — это закрашенная площадь слева от \(z\) под стандартной нормальной кривой.

Как пользоваться

Введите z-оценку в первое поле. Если у вас есть «сырое» измерение, а не готовая z-оценка, впишите это значение в поле z и укажите среднее распределения (μ) и стандартное отклонение (σ) — калькулятор сам приведёт величину к стандартному виду по формуле $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ Оставьте \(\mu = 0\) и \(\sigma = 1\), если вводимое число уже является стандартизованной z-оценкой.

Разбор формулы

Функция распределения стандартного нормального закона задаётся через функцию ошибок: $$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ Поскольку erf не выражается через элементарные функции в замкнутой форме, калькулятор вычисляет её по рациональному приближению Абрамовица и Стиган (формула 7.1.26) с точностью около \(1{,}5\times10^{-7}\) — этого с запасом хватает для задач теории вероятностей и статистики.

Реклама

Сумма нижнего хвоста \(\Phi(z)\) и верхнего хвоста \(1 - \Phi(z)\) равна 1.

Пример расчёта

Возьмём \(z = 1{,}96\) — пожалуй, самое известное значение в статистике: $$\Phi(1{,}96) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{1{,}96}{\sqrt{2}}\right)\right] \approx 0{,}9750$$ Это означает, что около 97,5% стандартного нормального распределения лежит ниже 1,96, а в правом хвосте остаётся 2,5%. Именно поэтому интервал ±1,96 охватывает центральные 95% — те самые, что используются в доверительных интервалах.

Частые вопросы

Чему равно значение при z = 0? \(\Phi(0) = 0{,}5\) ровно, ведь нормальное распределение симметрично относительно своего среднего.

Как получить двустороннюю вероятность? Для симметричных границ ±z вероятность «снаружи» равна \(2 \times (1 - \Phi(z))\), а центральная область — \(2\Phi(z) - 1\).

Можно ли использовать отрицательные z-оценки? Да. В силу симметрии \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\), и калькулятор корректно обрабатывает отрицательные значения.