这个计算器能做什么
本工具用于计算标准正态分布的累积分布函数（CDF），记作 \(\Phi(z)\) 或 \(P(Z < z)\)，即一个服从正态分布的随机变量落在某个 z 分数以下的概率。同时还会给出上尾概率 \(P(Z > z)\) 以及对应的百分位。这是一款通用的统计工具，适用于任何场景，不依赖任何国家或地区的特定规则。
使用方法
在第一个输入框中填入你的 z 分数。如果你手头是一个原始测量值，则把该数值填入 z，再填写分布的均值（μ）和标准差（σ），计算器会用公式 $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ 自动为你完成标准化。若想直接把输入当作已标准化的 z 分数处理，只需保持 \(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\) 即可。
公式解析
标准正态分布的 CDF 通过误差函数定义：$$\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$由于 erf 没有初等的封闭表达式，本计算器采用 Abramowitz & Stegun 手册中 7.1.26 节的有理逼近公式进行求值，其精度约为 \(1.5\times10^{-7}\)——足以满足概率与统计计算对精度的要求。
实例演算
以统计学中赫赫有名的 \(z = 1.96\) 为例：$$\Phi(1.96) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{1.96}{\sqrt{2}}\right)\right] \approx 0.9750$$这意味着标准正态分布约有 97.5% 的面积位于 1.96 以下，余下的 2.5% 落在上尾。正因如此，±1.96 恰好框定了置信区间常用的中间 95% 区域。
常见问题
z = 0 时取值是多少？ \(\Phi(0)\) 恰好等于 0.5，因为正态分布关于其均值对称。
怎样得到双尾概率？ 对于对称边界 ±z，两侧之外的双尾面积为 \(2 \times (1 - \Phi(z))\)；中间区域的面积为 \(2\Phi(z) - 1\)。
可以使用负的 z 分数吗？ 可以。根据对称性有 \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\)，计算器也能直接处理负数输入。
