这个计算器能做什么
标准正态分布 N(0,1) 是均值为 0、标准差为 1 的钟形曲线。给定一个分位点 \(x\)（也叫 z 值或标准分），本计算器会返回四个结果：\(x\) 处的概率密度、下侧累积概率 \(P(X \le x)\)、上侧累积概率 \(P(X \ge x)\)，以及位于中间的双侧概率 \(P(-|x| \le X \le |x|)\)。无论 \(x\) 是正数、负数还是零，都能正常计算。
使用方法
输入 \(x\) 的值，即可直接读取结果。例如，\(x = 1\) 表示比均值高出一个标准差；\(x = 1.96\) 则是经典的 95% 置信区间临界值。由于标准正态变量是无量纲的，因此本工具无需输入任何单位。
公式详解
概率密度为 $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$其中 \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.3989423\)。下侧累积分布函数为 $$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$其中用到了高斯误差函数 \(\operatorname{erf}\)。上侧尾部概率为 \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\)，中间的双侧概率为 \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\)。由于基础数学库通常不提供 \(\operatorname{erf}\) 函数，我们采用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 有理逼近公式来计算（最大误差约为 \(1.5\times10^{-7}\)），其精度足以保证显示约六位小数。
实例演算
以 \(x = 1\) 为例：$$\varphi(1) = 0.3989423 \times e^{-0.5} \approx 0.2419707$$\(\operatorname{erf}(0.7071068) \approx 0.6826895\)，因此 \(\Phi(1) \approx 0.8413447\)，对应上侧尾部概率为 \(0.1586553\)，中间双侧概率为 \(0.6826895\)——这正是人们熟知的"约 68% 的数值落在 \(\pm1\) 个标准差范围内"。
常见问题
什么是 z 值（z-score）？它表示某个数值偏离均值多少个标准差。对于标准正态分布而言，数值本身与其 z 值是相等的。
为什么中间双侧概率要用 |x|？因为双侧区间关于零对称，所以负的 \(x\) 与其对应的正数会得到相同的双侧概率。
计算结果有多精确？误差函数的逼近精度可达约六位小数，对于一般的统计分析来说已经绰绰有余。
