이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
표준정규분포 N(0,1)은 평균이 0, 표준편차가 1인 종 모양(벨 커브) 분포입니다. 백분위점 x(흔히 z값 또는 z-점수라고 부릅니다)를 입력하면 이 계산기가 네 가지 값을 알려줍니다. 바로 x에서의 확률밀도, 하측 누적확률 \(P(X \le x)\), 상측 누적확률 \(P(X \ge x)\), 그리고 0을 중심으로 한 양측 안쪽 확률 \(P(-|x| \le X \le |x|)\)입니다. 양수든 음수든 0이든, 어떤 실수 x에서도 계산할 수 있습니다.
사용 방법
x 값을 입력하면 결과가 바로 표시됩니다. 예를 들어 x = 1은 평균보다 표준편차 1만큼 위에 있는 위치이고, x = 1.96은 신뢰수준 95%를 가르는 대표적인 임계값입니다. 표준정규변수는 단위가 없는 무차원 값이므로 별도의 단위를 입력할 필요가 없습니다.
공식 풀이
확률밀도는 $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$이며, 여기서 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.3989423\)입니다. 하측 누적분포함수는 가우스 오차함수 erf를 이용해 $$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$로 구합니다. 상측 꼬리 확률은 \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\)이고, 안쪽 확률은 \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\)입니다. 기본 수학 라이브러리에는 erf가 없는 경우가 많기 때문에, 이 계산기는 Abramowitz & Stegun 7.1.26 유리함수 근사식(최대 오차 약 \(1.5\times10^{-7}\))을 사용합니다. 이 근사는 화면 표시 기준으로 소수점 여섯 자리 정도까지 정확합니다.
계산 예시
x = 1인 경우를 보면, $$\varphi(1) = 0.3989423 \times e^{-0.5} \approx 0.2419707$$입니다. \(\operatorname{erf}(0.7071068) \approx 0.6826895\)이므로 \(\Phi(1) \approx 0.8413447\)이 되고, 상측 꼬리 확률은 0.1586553, 안쪽 확률은 0.6826895가 됩니다. 이것이 바로 "전체 값의 약 68%가 평균 ±1 표준편차 안에 들어온다"는 잘 알려진 결과입니다.
자주 묻는 질문
z값(z-점수)이란 무엇인가요? 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 배만큼 떨어져 있는지를 나타내는 수치입니다. 표준정규분포에서는 값 그 자체가 곧 z값과 같습니다.
안쪽 확률은 왜 |x|를 사용하나요? 양측 영역은 0을 중심으로 대칭이므로, 음수 x라도 그 절댓값과 동일한 안쪽 확률을 갖기 때문입니다.
결과는 얼마나 정확한가요? 오차함수 근사는 소수점 여섯 자리 정도까지 정확하며, 이는 일반적인 통계 작업에 충분하고도 남습니다.
