この計算ツールでできること
標準正規分布 N(0,1) は、平均 0・標準偏差 1 をもつ釣鐘型の分布です。パーセント点 x(z値とも呼びます)を入力すると、本ツールは次の 4 つの値を返します。x における確率密度、下側累積確率 \(P(X \le x)\)、上側累積確率 \(P(X \ge x)\)、そして内側の両側確率 \(P(-|x| \le X \le |x|)\) です。x は正・負・ゼロを問わず、任意の実数に対応します。
使い方
x の値を入力すれば、そのまま結果を読み取れます。たとえば x = 1 は平均から標準偏差 1 つ分だけ上にあることを表し、x = 1.96 は信頼度 95% でおなじみの境界値です。標準正規変数は無次元のため、単位の指定は不要です。
計算式の解説
確率密度は $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$ で表され、\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.3989423\) です。下側累積分布関数はガウスの誤差関数 erf を用いて $$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ となります。上側確率は \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\)、内側確率は \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\) です。基本的な数学ライブラリには erf が用意されていないことが多いため、本ツールでは Abramowitz & Stegun 7.1.26 の有理式近似(最大誤差 約 \(1.5\times10^{-7}\))で計算しており、表示上はおよそ小数 6 桁まで正確です。
計算例
x = 1 の場合:$$\varphi(1) = 0.3989423 \times e^{-0.5} \approx 0.2419707$$ \(\operatorname{erf}(0.7071068) \approx 0.6826895\) なので \(\Phi(1) \approx 0.8413447\) となり、上側確率は 0.1586553、内側確率は 0.6826895 です。これはよく知られた「全体の約 68% が ±1 標準偏差の範囲に収まる」という結果に対応します。
よくある質問
z値とは何ですか? ある値が平均から標準偏差いくつ分だけ離れているかを表す数値です。標準正規分布では、値そのものとz値が一致します。
内側確率で |x| を使うのはなぜですか? 両側の領域はゼロを中心に対称なので、負の x でもその絶対値(正の x)と同じ内側確率になるためです。
結果はどのくらい正確ですか? 誤差関数の近似はおよそ小数 6 桁まで正確で、一般的な統計処理には十分すぎる精度です。
