標準正規分布のパーセント点計算とは
このツールは、標準正規分布 N(0,1) のパーセント点（分位点、パーセンタイル、あるいは逆累積分布による z 値とも呼ばれます）を求めます。累積確率を入力すると、その面積を区切る釣鐘型曲線（ベルカーブ）上の横軸の値 z を返します。これは累積分布関数（CDF）の逆関数にあたり、一般に \( z = \Phi^{-1}(p) \) と表されます。
使い方
まず、入力する確率の読み取り方を選びます。下側累積確率 P（z の左側の面積）、上側累積確率 Q（z の右側の面積）、または内側（両側）の累積確率（\(-z\) から \(+z\) までの左右対称な中央部分の面積）のいずれかです。次に、0 より大きく 1 より小さい確率を入力してください。計算では、この入力を一つの下側確率に変換し、対応する z を求めます。
計算式
標準正規分布の確率密度関数は $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2}$$、累積分布関数は \(\Phi(x)\) です。これを逆に解きます。下側モードでは \(p_{\text{lower}} = p\)、上側モードでは \(p_{\text{lower}} = 1 - p\)、内側モードでは \(z \ge 0\) として \(p_{\text{lower}} = \frac{1 + p}{2}\) とします。これにより $$z = \Phi^{-1}(p_{\text{lower}})$$ を、Acklam の高精度有理近似（相対誤差およそ \(1\mathrm{e}{-9}\)）で評価します。
計算例
下側モードで \(p = 0.975\) とすると、$$z = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.959964$$ となり、95% 信頼区間でおなじみの 1.96 が得られます。内側モードで \(p = 0.95\) としても同じく 1.96 となり、中央 95% の区間は \([-1.96, +1.96]\) になります。
よくある質問
なぜ p は 0 と 1 の間でなければならないのですか？ \(p = 0\) または \(p = 1\) のとき z 値は \(-\infty\) または \(+\infty\) になるため、これらの値は受け付けられません。
上側モードと下側モードの関係は？ 同じ確率に対して、上側モードの z は下側モードの z の符号を反転したものになります。すなわち \(\Phi^{-1}(1-p) = -\Phi^{-1}(p)\) です。
厳密な値ですか？ 閉じた式（解析解）は存在しませんが、Acklam の近似はおよそ 9 桁の有効数字で正確であり、表示に必要な精度をはるかに上回ります。
