Qu'est-ce que le calculateur de percentile de la loi normale centrée réduite ?
Cet outil calcule le point de pourcentage (aussi appelé percentile, quantile ou valeur z de la CDF inverse) de la loi normale centrée réduite N(0,1). À partir d'une probabilité cumulée, il renvoie la valeur z, située sur l'axe horizontal de la courbe en cloche, qui délimite cette aire. Il s'agit de l'inverse de la fonction de répartition (CDF), notée \(z = \Phi^{-1}(p)\).
Comment l'utiliser
Choisissez d'abord comment interpréter votre probabilité : P cumulée inférieure (l'aire à gauche de z), Q cumulée supérieure (l'aire à droite) ou aire centrale bilatérale (l'aire symétrique comprise entre \(-z\) et \(+z\)). Saisissez ensuite une probabilité strictement comprise entre 0 et 1. Le calculateur convertit votre valeur en une probabilité unique de queue inférieure et renvoie le z correspondant.
La formule
La densité de la loi normale centrée réduite est $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2}$$ et sa fonction de répartition est \(\Phi(x)\). On l'inverse : en mode inférieur \(p_{\text{inf}} = p\) ; en mode supérieur \(p_{\text{inf}} = 1 - p\) ; en mode central \(p_{\text{inf}} = \frac{1 + p}{2}\) avec \(z \ge 0\). La valeur $$z = \Phi^{-1}(p_{\text{inf}})$$ est ensuite évaluée à l'aide de l'approximation rationnelle de haute précision d'Acklam (erreur relative d'environ 1e\(-9\)).
Exemple résolu
En mode inférieur, \(p = 0{,}975\) donne $$z = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}959964$$ — le fameux 1,96 utilisé pour les intervalles de confiance à 95 %. En mode central, \(p = 0{,}95\) donne également 1,96 : l'intervalle central à 95 % est donc \([-1{,}96 ; +1{,}96]\).
FAQ
Pourquoi p doit-il être compris entre 0 et 1 ? Pour \(p = 0\) ou \(p = 1\), la valeur z vaut \(-\infty\) ou \(+\infty\) : ces valeurs sont donc rejetées.
Quel est le lien entre les modes supérieur et inférieur ? Le z du mode supérieur est l'opposé du z du mode inférieur pour une même probabilité : \(\Phi^{-1}(1-p) = -\Phi^{-1}(p)\).
Le résultat est-il exact ? Il n'existe pas de forme analytique exacte, mais l'approximation d'Acklam est précise à environ neuf chiffres significatifs, bien au-delà de ce qu'exige l'affichage.
