À quoi sert ce calculateur
Le calculateur de graphique de la loi normale construit un tableau de couples (x, valeur) pour la loi normale (gaussienne). Vous choisissez l'une des trois fonctions à tabuler : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(x)\) (la fonction de répartition, ou CDF), ou la probabilité cumulée supérieure \(Q(x)\) (la fonction de survie). La série de valeurs de x est définie par une valeur initiale, un pas (incrément) et le nombre de points à générer. Avec une moyenne \(\mu = 0\) et un écart-type \(\sigma = 1\), vous obtenez la loi normale centrée réduite (loi normale standard).
Comment l'utiliser
Choisissez une fonction. Saisissez la moyenne \(\mu\) et l'écart-type \(\sigma\) (qui doit être strictement supérieur à 0). Définissez la valeur initiale de x, l'incrément entre deux valeurs consécutives de x et le nombre de répétitions (points). Le calculateur renvoie un tableau où chaque ligne i donne \(x = x_{\text{Initial}} + i \cdot \text{pas}\), ainsi que la fonction choisie évaluée en ce point x. Les réglages par défaut (\(\mu=0\), \(\sigma=1\), début = -5, pas = 0,1, 101 points) balaient x de -5 à +5 et tracent la célèbre courbe en cloche pour f, ou la courbe en S pour P.
La formule expliquée
La densité s'écrit
$$f(\text{x},\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma}\right)^{2}}$$Les probabilités cumulées font appel à la fonction d'erreur : en posant \(z = \frac{\text{x}-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\), la cumulée inférieure vaut
$$P = \frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf} z\right)$$et la cumulée supérieure \(Q = 1 - P\). Comme Java/Groovy ne dispose pas de fonction erf native, cet outil utilise l'approximation polynomiale 7.1.26 d'Abramowitz & Stegun, précise à environ \(1{,}5\times10^{-7}\).
Exemple concret
Loi normale centrée réduite (\(\mu=0\), \(\sigma=1\)) en x = 1 :
$$f(1) = 0{,}3989423 \cdot e^{-0{,}5} = 0{,}241971$$Pour P, \(z = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0{,}70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0{,}68269\), donc
$$P = \frac{1}{2}(1 + 0{,}68269) = 0{,}84134$$(la valeur bien connue \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\)). Ensuite \(Q = 1 - 0{,}84134 = 0{,}15866\), et \(P + Q = 1\). ✓
FAQ
Pourquoi \(\sigma\) doit-il être positif ? Un écart-type nul ou négatif n'a aucun sens et entraînerait une division par zéro dans les formules : l'outil le refuse donc.
Le pas peut-il être négatif ? Oui. Un pas négatif fait décroître x ; un pas nul produit une colonne constante de valeurs de x identiques.
Quelle est la précision de P et Q ? Elles reposent sur une approximation polynomiale de erf dont l'erreur maximale avoisine \(1{,}5\times10^{-7}\), largement suffisante pour le tracé de courbes et la plupart des travaux statistiques.
