À quoi sert ce calculateur
La loi de Fisher (aussi appelée loi de Snedecor, ou loi F) intervient dès qu'on compare deux variances : analyse de la variance (ANOVA), test de significativité globale d'une régression ou test de Fisher d'égalité des variances. Cet outil évalue la loi de Fisher avec \(\nu_1\) degrés de liberté au numérateur et \(\nu_2\) degrés de liberté au dénominateur sur toute une série de valeurs \(x\), ce qui vous permet de générer un tableau et un graphique en une seule opération. Choisissez l'une des trois fonctions : la densité de probabilité \(f\), la probabilité cumulée inférieure \(P\) (la fonction de répartition) ou la probabilité cumulée supérieure \(Q\) (la fonction de survie, pratique pour les p-values de la queue droite).
Comment l'utiliser
Sélectionnez la fonction souhaitée. Saisissez les deux degrés de liberté (tous deux strictement supérieurs à 0). Définissez ensuite la série : la valeur initiale de \(x\) (\(x\) doit être ≥ 0), le pas entre les points et le nombre d'itérations. Le calculateur génère \(x_i = x_{\text{initial}} + i \times \text{pas}\) pour \(i\) allant de 0 à nombre d'itérations − 1, puis affiche la fonction choisie à chaque point. Les réglages par défaut (\(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 5\), départ 0, pas 0,1, 51 points) balaient \(x\) de 0 à 5.
La formule expliquée
La densité fait appel à la fonction Bêta \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\). Pour rester numériquement stable avec de grands degrés de liberté, on travaille en logarithmes à l'aide de la fonction log-gamma. La probabilité cumulée admet une forme close élégante : \(P(x)\) est égale à la fonction bêta incomplète régularisée \(I_z(\nu_1/2, \nu_2/2)\), où \(z = \nu_1 x/(\nu_1 x + \nu_2)\). La queue supérieure s'obtient simplement par \(Q(x) = 1 - P(x)\). On évalue la bêta incomplète par la méthode classique des fractions continues.
$$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(\nu_1 x)^{\nu_1}\,\nu_2^{\nu_2}}{(\nu_1 x + \nu_2)^{\nu_1+\nu_2}}}}{x\,B\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\tfrac{\nu_2}{2}\right)}$$ $$F(x) = I_{\,z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\,\tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}$$
Exemple résolu
Avec \(\nu_1 = 3\) et \(\nu_2 = 5\) en \(x = 1\) : la constante $$C = 3^{1{,}5} \times 5^{2{,}5} / B(1{,}5\,;\,2{,}5) = 5{,}196152 \times 55{,}901699 / 0{,}196350 = 1479{,}36$$ On obtient alors $$f = 1479{,}36 \times 1^{0{,}5} / (5 + 3)^4 = 1479{,}36 / 4096 = 0{,}36117$$ Pour la fonction de répartition, \(z = 3/8 = 0{,}375\) donne \(P = I_{0{,}375}(1{,}5\,;\,2{,}5) = 0{,}5351\), d'où \(Q = 0{,}4649\).
FAQ
Pourquoi la densité explose-t-elle en \(x = 0\) ? Lorsque \(\nu_1 < 2\), la densité n'est pas bornée en \(x = 0\) ; pour \(\nu_1 = 2\) elle vaut 1, et pour \(\nu_1 > 2\) elle est nulle.
Quelle plage de \(x\) choisir ? La variable \(F\) est positive ou nulle : commencez donc à \(x = 0\) et prolongez suffisamment loin dans la queue droite (souvent jusqu'à \(x = 5\) à 10) pour couvrir l'essentiel de la distribution.
L'espérance existe-t-elle toujours ? L'espérance \(\nu_2/(\nu_2-2)\) n'existe que pour \(\nu_2 > 2\) et la variance seulement pour \(\nu_2 > 4\), même si ni l'une ni l'autre n'est nécessaire pour évaluer les fonctions proposées ici.
