Qu'est-ce que la loi binomiale négative ?
La loi binomiale négative décrit le nombre d'échecs x qui surviennent avant le k-ième succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes, chaque épreuve réussissant avec une probabilité p. Ce calculateur retient la paramétrisation « nombre d'échecs avant le k-ième succès » : la variable aléatoire prend donc les valeurs x = 0, 1, 2, … Il renvoie la masse de probabilité f, la probabilité cumulée inférieure P ou la probabilité de survie (cumulée supérieure) Q, et dresse le tableau de la fonction choisie sur une plage de valeurs de x.
Comment l'utiliser
Choisissez d'abord la fonction à évaluer : f (masse de probabilité), P (cumulée inférieure) ou Q (cumulée supérieure). Saisissez ensuite le nombre de succès requis k (un entier positif), la probabilité de succès par épreuve p (comprise entre 0 et 1), la valeur de départ de x, le pas entre chaque ligne et le nombre de lignes à générer. Le tableau affiche chaque valeur de x et la probabilité correspondante ; la moyenne et la variance du nombre d'échecs sont également indiquées.
La formule expliquée
La fonction de masse de probabilité s'écrit $$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$ où C désigne le coefficient binomial. La fonction de répartition (cumulée inférieure) vaut $$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ La fonction de survie (cumulée supérieure) est $$Q(x,k,p) = 1 - \sum_{t=0}^{x-1} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ c'est-à-dire la somme des \(f(t)\) pour tout \(t \ge x\). Le nombre moyen d'échecs est \(\dfrac{k(1-p)}{p}\) et la variance vaut \(\dfrac{k(1-p)}{p^{2}}\).
Exemple résolu
Avec k = 4 et p = 0,4, calculons f(x=2) : \(\binom{5}{2} = 10\), \(p^{4} = 0{,}0256\), \((0{,}6)^{2} = 0{,}36\), d'où $$f = 10 \times 0{,}0256 \times 0{,}36 = 0{,}09216$$ La cumulée inférieure $$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0{,}0256 + 0{,}06144 + 0{,}09216 = 0{,}1792$$ La survie $$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0{,}0256 + 0{,}06144) = 0{,}91296$$
Questions fréquentes
x compte-t-il les succès ou les échecs ? Ici, x compte les échecs survenus avant le k-ième succès. Le nombre total d'épreuves serait donc x + k.
Que se passe-t-il si p = 1 ? Aucun échec n'est possible : f(0) = 1 et f(x) = 0 pour tout x > 0.
Et si p = 0 ? La loi est dégénérée (on s'attend à une infinité d'échecs) et f(x) = 0 pour toute valeur finie de x.
