什么是负二项分布？
负二项分布描述的是：在一系列相互独立的伯努利试验中，每次试验成功的概率为 p，那么在第 k 次成功出现之前，会发生多少次失败 x。本计算器采用"第 k 次成功前的失败次数"这一参数化方式，因此随机变量的取值为 \(x = 0, 1, 2, \ldots\)。它可以输出概率质量 f、下侧累积概率 P 或上侧（生存）概率 Q，并在一段 x 取值范围内列出所选函数的取值表。
使用方法
先选择要计算的函数：f（概率质量）、P（下侧累积）或 Q（上侧累积）。然后填写所需的成功次数 k（正整数）、每次试验的成功概率 p（介于 0 与 1 之间）、x 的起始值、每行之间的步长，以及要生成的行数。表格会逐行列出每个 x 及其对应的概率，同时还会给出失败次数的均值与方差。
公式详解
概率质量函数为 $$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$ 其中 \(\binom{x+k-1}{x}\) 表示二项式系数。下侧累积分布函数为 $$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ 上侧累积（生存）函数为 $$Q(x,k,p) = 1 - \sum_{t=0}^{x-1} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ 它等于所有 \(t \ge x\) 的 \(f(t)\) 之和。失败次数的均值为 \(\dfrac{k(1-p)}{p}\)，方差为 \(\dfrac{k(1-p)}{p^{2}}\)。
计算实例
设 \(k = 4\)、\(p = 0.4\)，求 \(f(x=2)\)：\(\binom{5}{2} = 10\)，\(p^{4} = 0.0256\)，\((0.6)^{2} = 0.36\)，于是 $$f = 10 \times 0.0256 \times 0.36 = 0.09216$$ 下侧累积 $$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0256 + 0.06144 + 0.09216 = 0.1792$$ 生存概率 $$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0.0256 + 0.06144) = 0.91296$$
常见问题
x 统计的是成功次数还是失败次数？ 这里的 x 统计的是第 k 次成功之前的失败次数。试验总次数则为 \(x + k\)。
如果 p = 1 会怎样？ 此时不可能出现失败，所以 \(f(0) = 1\)，且当 \(x > 0\) 时 \(f(x) = 0\)。
如果 p = 0 会怎样？ 分布退化（预期会出现无穷多次失败），对任何有限的 x 都有 \(f(x) = 0\)。
