这个计算器能做什么
这是一款基于二项分布的纯数学概率工具。它能告诉你：在 \(n\) 次相互独立的试验中，某个特定结果恰好出现 \(m\) 次的概率有多大，其中每次试验成功的概率为 \(p\)。最经典的例子就是掷一枚均匀的六面骰子——每掷一次，某个指定点数出现的概率都是 \(p = 1/6\)。不过这套数学是通用的，任意介于 0 到 1 之间的单次成功概率都适用，比如抛硬币、罚球命中、产品次品率等等。
使用方法
输入试验次数 n（1 到 500）、单次成功概率 p，以及目标成功次数 m。p 既可以填小数（如 0.1667），也可以填分数（如 1/6），计算器会自动把分数换算成小数。要特别注意：p 是 0 到 1 之间的概率值，不是百分比——应填 1/6，而不是 16.67。计算结果会显示 \(P(X = m)\)，并列出一张完整的分布表：从 \(m = 0\) 到 \(n\) 的每个 \(P(X = m)\)、累积概率 \(P(X \le m)\) 与 \(P(X \ge m)\)，以及均值和方差。
公式详解
恰好成功 m 次的概率为
$$P(X = m) = \binom{n}{m} \, p^{m} (1-p)^{n-m}$$其中 \(\binom{n}{m} = \dfrac{n!}{m!\,(n-m)!}\) 是二项式系数（即"从 n 个中取 m 个"的组合数）。均值为 \(\mu = n\cdot p\)，方差为 \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot(1-p)\)。当 \(n\) 很大时，计算器会借助 log-gamma 函数在对数空间中运算，以避免阶乘溢出。
实例演算
掷骰子 \(n = 10\) 次，某个指定点数恰好出现 \(m = 2\) 次的概率是多少？此时 \(p = 1/6\)。\(\binom{10}{2} = 45\)，\(p^2 = 1/36 \approx 0.027778\)，\((5/6)^8 \approx 0.232557\)。于是
$$P(X = 2) = 45 \times 0.027778 \times 0.232557 \approx 0.29071$$约为 29.07%。均值为 \(10/6 \approx 1.667\)，方差为 \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1.389\)。
常见问题
p 是百分比吗？不是。p 是 0 到 1 之间的概率值。对于骰子的某个点数，应填 1/6 或约 0.1667，而不是 16.67。
怎么算"至少出现一次"？用 \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\)。例如掷 3 颗骰子，某个指定点数至少出现一次的概率为 \(1 - (5/6)^3 = 1 - 0.578704 \approx 0.4213\)，约 42.13%。
为什么表格里的概率加起来等于 1？因为每次试验的成功次数一定落在 0 到 n 之间，所有互斥结果的概率之和必然恰好等于 1——这正好可以用来检验结果是否正确。
