이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 이항분포(binomial distribution)를 기반으로 한 순수 수학 확률 계산기입니다. 각 시행이 확률 p로 성공할 때, 서로 독립인 n번의 시행에서 특정 결과가 정확히 m번 나타날 확률이 얼마인지 알려줍니다. 가장 대표적인 예가 정육면체 주사위 던지기입니다. 공정한 주사위라면 정해 둔 한 면이 나올 확률은 매번 \(p = 1/6\)이죠. 하지만 이 수식은 주사위에만 국한되지 않습니다. 0과 1 사이의 시행 성공 확률이라면 무엇이든 적용할 수 있어요 — 동전 던지기, 자유투 성공률, 제품 불량률 등 활용 범위가 넓습니다.
사용 방법
시행 횟수 \(n\)(1~500), 시행당 성공 확률 \(p\), 그리고 알고 싶은 성공 횟수 \(m\)을 입력하세요. \(p\)는 0.1667 같은 소수로 적어도 되고, 1/6 같은 분수로 적어도 됩니다. 분수로 입력하면 자동으로 소수로 계산해 줍니다. 한 가지 꼭 기억할 점은, \(p\)는 0에서 1 사이의 확률이지 백분율(%)이 아니라는 것입니다. 주사위라면 16.67이 아니라 1/6을 입력해야 합니다. 결과로는 \(P(X = m)\)뿐 아니라, 0부터 \(n\)까지 모든 \(m\)에 대한 \(P(X = m)\) 분포표, 누적 확률 \(P(X \le m)\)와 \(P(X \ge m)\), 평균, 분산까지 함께 보여 줍니다.
공식 풀어보기
정확히 \(m\)번 성공할 확률은 다음과 같이 구합니다.
$$P(X = m) = \binom{\text{Trials }n}{\text{Successes }m} \, p^{\,m} \left(1-p\right)^{n-m}$$여기서 \(C(n, m) = n! / (m! (n - m)!)\)은 이항계수(흔히 "n개 중 m개 선택")입니다. 평균은 \(\mu = n\cdot p\), 분산은 \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot(1 - p)\)입니다. \(n\)이 매우 큰 경우에는 팩토리얼 값이 넘쳐 흐르는(오버플로) 문제를 막기 위해 로그-감마 함수를 이용해 로그 공간에서 계산합니다.
예제로 따라가기
주사위를 \(n = 10\)번 던질 때, 정해 둔 한 면이 정확히 \(m = 2\)번 나올 확률은 얼마일까요? 이때 \(p = 1/6\)입니다. \(C(10, 2) = 45\), \(p^{2} = 1/36 \approx 0.027778\), \((5/6)^{8} \approx 0.232557\)이므로 $$P(X = 2) = 45 \times 0.027778 \times 0.232557 \approx 0.29071,$$ 약 29.07%가 됩니다. 평균은 \(10/6 \approx 1.667\), 분산은 \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1.389\)입니다.
자주 묻는 질문
\(p\)는 백분율(%)인가요? 아닙니다. \(p\)는 0과 1 사이의 확률입니다. 주사위 한 면이라면 16.67이 아니라 1/6 또는 약 0.1667을 입력하세요.
"적어도 한 번" 나올 확률은 어떻게 구하나요? \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\)을 이용합니다. 주사위 3개에서 특정 한 면이 나올 확률이라면 \(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0.578704 \approx 0.4213\), 약 42.13%입니다.
분포표의 확률을 모두 더하면 왜 1이 되나요? 모든 시행은 0부터 \(n\)까지 중 어떤 성공 횟수든 반드시 만들어내기 때문에, 서로 배타적인 모든 경우의 확률을 합하면 정확히 1이 됩니다. 계산이 맞았는지 점검하는 데 유용한 성질이죠.
