로지스틱 분포란?
로지스틱 분포는 정규분포와 비슷한 종 모양이지만 꼬리가 더 두꺼운 연속확률분포입니다. 평균이자 중앙값이 되는 위치 모수 a와 양수인 척도 모수 b > 0로 정의됩니다. 이 분포의 누적분포함수(CDF)는 우리에게 익숙한 로지스틱 시그모이드 곡선이며, 그래서 로지스틱 회귀, 성장 모형, 머신러닝 곳곳에서 등장합니다. 이 계산기는 순수한 수학 계산만 다루므로 국가나 지역에 상관없이 동일하게 적용되며 별도의 전제 조건이 없습니다.
계산기 사용법
먼저 어떤 함수를 계산할지 선택하세요. 확률밀도 f, 하측 누적확률 P(CDF), 상측 누적확률 Q(생존함수) 중에서 고르면 됩니다. 그다음 위치 모수 a와 척도 모수 b를 입력합니다. 마지막으로 x 격자를 정의합니다. 시작 x값, 증가폭(스텝), 그리고 점의 개수를 입력하면 됩니다. 계산기는 \(i = 0\)부터 \(\text{points}-1\)까지에 대해 \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\)를 생성하고, 선택한 함수를 각 점에서 계산한 뒤, 첫 번째 x에서의 대표값을 보여 주고, 전체 수열을 표로 나열하며, 선 그래프를 그려 줍니다.
공식 풀이
표준화 변수를 \(z = (x - a)/b\)로, \(E = e^{-z}\)로 정의합니다. 밀도는 다음과 같습니다.
$$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^{2}}$$시그모이드 함수를 \(\sigma = 1/(1+E)\)로 쓰면 이는 \(\sigma(1-\sigma)/b\)와 같습니다. 하측 CDF는 단순히 다음과 같이 0에서 1까지 단조 증가합니다.
$$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$상측(생존) 함수는 \(Q = 1 - P\)입니다. 오버플로를 막기 위해 시그모이드는 \(z \ge 0\)일 때 \(1/(1+e^{-z})\)로, \(z < 0\)일 때 \(e^{z}/(1+e^{z})\)로 계산합니다.
계산 예시
\(a = 0\), \(b = 0.7\)일 때 \(x = 0.7\)에서 계산해 봅시다. 그러면 \(z = 1\)이고 \(E = e^{-1} = 0.367879\)입니다. 밀도는 다음과 같습니다.
$$f = \frac{1}{0.7}\cdot\frac{0.367879}{(1.367879)^{2}} \approx 0.28087$$하측 CDF는 \(P = 1/1.367879 \approx 0.73106\), 상측 CDF는 \(Q = 1 - 0.73106 \approx 0.26894\)입니다. 중앙값 \(x = a = 0\)에서는 최대 밀도인 \(1/(4b) = 0.35714\)를 얻고 \(P = Q = 0.5\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
b가 0이거나 음수이면 어떻게 되나요? 그런 경우 분포가 정의되지 않습니다. 이 계산기는 \(b > 0\)을 요구하며, 그렇지 않으면 오류를 반환합니다.
평균과 분산은 얼마인가요? 평균(이자 중앙값)은 a와 같고, 분산은 \((\pi^{2}/3)\cdot b^{2}\)입니다.
내림차순 격자도 쓸 수 있나요? 네, 가능합니다. 증가폭을 음수로 주면 x값이 점점 작아지고, 증가폭을 0으로 두면 모든 점이 시작 x값에서 계산됩니다.
