스튜던트 t-분포 계산기란?
이 도구는 주어진 값 x(t 통계량)와 자유도 ν에 대해 스튜던트 t-분포를 계산합니다. 결과로는 세 가지 값을 제공합니다. 바로 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P(T \le x)\), 그리고 상측 누적확률 \(Q = P(T > x) = 1 - P\) 입니다. 이는 순수한 수학 계산으로 전 세계 어디서나 동일하게 적용되며, 특정 국가의 규정이 개입하지 않습니다.
사용 방법
x에는 임의의 실수를 입력하면 됩니다(음수도 가능합니다). 자유도 ν에는 양수를 입력하는데, 보통 5, 10, 30과 같은 정수를 많이 쓰지만 \(\nu > 0\)인 어떤 값도 받아들입니다. '계산' 버튼을 누르면 확률밀도와 양쪽 꼬리확률을 모두 얻을 수 있습니다. 자유도 ν가 커질수록 분포는 표준정규분포 \(N(0, 1)\)에 가까워집니다.
공식 설명
확률밀도는 $$f(\text{x}) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{\text{x}^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ 로 정의되며, 여기서 \(\Gamma\)는 감마함수입니다. 누적확률은 정규화 불완전 베타함수를 이용합니다. \(z = \nu/(\nu + \text{x}^{2})\)라 할 때, \(\text{x} \ge 0\)이면 \(P(T \le \text{x}) = 1 - \tfrac{1}{2}\cdot I_{z}(\nu/2, 1/2)\), \(\text{x} < 0\)이면 \(P(T \le \text{x}) = \tfrac{1}{2}\cdot I_{z}(\nu/2, 1/2)\) 입니다. 본 계산기는 수치적 안정성을 위해 란초스(Lanczos) 로그-감마 근사를 사용해 로그 공간에서 밀도를 계산하고, 불완전 베타함수는 렌츠(Lentz) 연분수 알고리즘으로 구합니다.
계산 예시
\(\text{x} = 1.0\), \(\nu = 10\)인 경우를 살펴보겠습니다. 확률밀도는 \(f(1) \approx 0.2304\) 입니다. 하측 누적확률은 \(P(T \le 1.0) \approx 0.8303\) 이므로 상측 누적확률은 \(Q \approx 0.1697\) 이 되며, 이는 표준 t-분포표 값과 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
자유도 ν가 정수가 아니어도 되나요? 됩니다. 공식은 \(\nu > 0\)인 모든 실수에 대해 유효하며, 본 계산기는 소수점 자유도도 입력받습니다.
상측 누적확률은 무엇을 의미하나요? 오른쪽 꼬리 부분의 면적, 즉 \(P(T > \text{x})\)를 뜻합니다. x가 양수일 때 양측 p-값을 구하려면 \(2\cdot Q\)를 사용하면 됩니다.
자유도 ν가 크면 왜 정규분포 곡선처럼 보이나요? 자유도가 커질수록 t-분포의 두꺼운 꼬리가 점점 얇아지면서 표준정규분포에 가까워지기 때문입니다.
