什么是学生t分布计算器？
这款工具用于在给定数值 x（即 t 统计量）和自由度 \(\nu\) 的情况下，计算学生 t 分布的相关数值。它会输出三个结果：概率密度 \(f(x)\)、下侧累积概率 \(P(T \le x)\)，以及上侧累积概率 \(Q = P(T > x) = 1 - P\)。这是纯粹的数学运算，普遍适用于全球任何场景，不涉及任何地区性规则。
如何使用
在 x 处填入任意实数（可以为负数），在自由度 \(\nu\) 处填入一个正数（通常为整数，如 5、10 或 30，但任何 \(\nu > 0\) 的值都可接受）。点击计算即可得到概率密度以及两侧的尾部概率。当 \(\nu\) 不断增大时，t 分布会逐渐逼近标准正态分布 \(N(0, 1)\)。
公式详解
概率密度为
$$f(x) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$其中 \(\Gamma\) 表示伽马函数。累积概率借助正则化不完全贝塔函数来求解：令 \(z = \dfrac{\nu}{\nu + x^{2}}\)，当 \(x \ge 0\) 时 \(P(T \le x) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_z(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2})\)，当 \(x < 0\) 时 \(P(T \le x) = \tfrac{1}{2}\,I_z(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2})\)。为保证数值稳定性，我们采用 Lanczos 对数伽马近似在对数空间中计算概率密度，并通过 Lentz 连分式算法求解不完全贝塔函数。
实例演示
当 \(x = 1.0\)、\(\nu = 10\) 时：概率密度 \(f(1) \approx 0.2304\)。下侧累积概率 \(P(T \le 1.0) \approx 0.8303\)，因此上侧累积概率 \(Q \approx 0.1697\)，与标准 t 分布表中的数值完全吻合。
常见问题
自由度 \(\nu\) 可以不是整数吗？ 可以。该公式对任意 \(\nu > 0\) 的实数均成立，因此本计算器也支持小数形式的自由度。
上侧累积概率代表什么含义？ 它表示右侧尾部的面积，即 \(P(T > x)\)。如果你要计算正 x 值对应的双侧 p 值，则应使用 \(2\cdot Q\)。
为什么自由度很大时曲线看起来像正态分布？ 随着自由度增大，t 分布厚重的尾部会逐渐收窄，整体趋近于标准正态分布。
