スチューデントのt分布計算とは
このツールは、指定した値 x（t統計量）と自由度 ν に対して、スチューデントのt分布を評価します。求まる値は次の3つです。確率密度 \(f(x)\)、下側累積確率 \(P(T \le x)\)、そして上側累積確率 \(Q = P(T > x) = 1 - P\) です。これは純粋な数学に基づく計算であり、国や地域に固有のルールは関係なく、どこでも普遍的に成り立ちます。
使い方
x には任意の実数（負の値も可）を入力し、自由度 ν には正の数を入力します。ν は 5、10、30 のような整数がよく使われますが、\(\nu > 0\) であれば小数でも構いません。計算ボタンを押すと、確率密度と両側の裾確率が得られます。ν が大きくなるにつれて、t分布は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に近づいていきます。
計算式の解説
確率密度は $$f(\text{x}) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{\text{x}^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ で表されます。ここで \(\Gamma\) はガンマ関数です。累積確率には正則化された不完全ベータ関数を用います。\(z = \dfrac{\nu}{\nu + \text{x}^{2}}\) とおくと、\(\text{x} \ge 0\) のときは \(P(T \le \text{x}) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_{z}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right)\)、\(\text{x} < 0\) のときは \(\tfrac{1}{2}\,I_{z}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right)\) となります。当サイトでは、ランチョス（Lanczos）の対数ガンマ近似を用いて確率密度を対数空間で計算し、不完全ベータ関数はレンツ（Lentz）の連分数法で求めることで、数値的な安定性を確保しています。
計算例
\(x = 1.0\)、\(\nu = 10\) の場合、確率密度は \(f(1) \approx 0.2304\) となります。下側累積確率は \(P(T \le 1.0) \approx 0.8303\) なので、上側累積確率は \(Q \approx 0.1697\) です。これは一般的なt分布表の値と一致します。
よくある質問
自由度 ν は整数でなくてもよいですか？ はい。この式は \(\nu > 0\) の任意の実数で成り立ちます。当計算機は小数の自由度も受け付けます。
上側累積確率は何を表しますか？ 分布の右側の裾の面積、すなわち \(P(T > x)\) を表します。x が正の場合の両側p値を求めたいときは、\(2\cdot Q\) を使います。
なぜ ν が大きいと正規分布の曲線のように見えるのですか？ 自由度が大きくなると、t分布特有の厚い裾が薄くなり、標準正規分布に近づいていくためです。
