स्टूडेंट t-वितरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

x (मान)

Degrees of freedom ν

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Cumulative Distribution Function (CDF)

   

   Lower-tail probability using the regularized incomplete beta function I; z = nu / (nu + x^2). For x > 0 the value is 1 minus half of the same expression.

परिणाम

प्रायिकता घनत्व f(x)

0.230362

x पर t-वितरण घनत्व का मान

Lower cumulative probability P(T ≤ x)	0.829553
Upper cumulative probability Q(T > x)	0.170447

स्टूडेंट t-वितरण कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल किसी दिए गए मान x (यानी t सांख्यिकी) और स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) ν के लिए स्टूडेंट t-वितरण की गणना करता है। यह तीन मान देता है: प्रायिकता घनत्व f(x), निचली संचयी प्रायिकता P(T ≤ x), और ऊपरी संचयी प्रायिकता Q = P(T > x) = 1 − P। यह शुद्ध गणित है और हर जगह समान रूप से लागू होता है; इसमें किसी देश या क्षेत्र विशेष के नियम शामिल नहीं हैं।

t-वितरण घंटी के आकार का होता है और इसकी पूँछें भारी होती हैं; स्वतंत्रता की कोटि बढ़ने पर यह सामान्य वक्र के निकट पहुँच जाता है।

इसका उपयोग कैसे करें

x के लिए कोई भी वास्तविक संख्या डालें (यह ऋणात्मक भी हो सकती है) और स्वतंत्रता की कोटि ν के लिए कोई धनात्मक संख्या डालें (आमतौर पर 5, 10 या 30 जैसी पूर्णांक संख्या, पर \(\nu > 0\) कोई भी मान स्वीकार्य है)। घनत्व और दोनों पुच्छ प्रायिकताएँ पाने के लिए गणना करें बटन दबाएँ। जैसे-जैसे ν बड़ा होता जाता है, यह वितरण मानक सामान्य वितरण N(0, 1) की ओर अभिसरित होता जाता है।

सूत्र की व्याख्या

घनत्व का सूत्र है

$$f(\text{x}) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{\text{x}^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$

जहाँ Γ गामा फलन है। संचयी प्रायिकता के लिए नियमित अपूर्ण बीटा फलन (regularized incomplete beta function) का प्रयोग होता है: \(z = \dfrac{\nu}{\nu + \text{x}^{2}}\) मानते हुए, \(\text{x} \ge 0\) के लिए \(P(T \le \text{x}) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_{z}\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2}\right)\) और \(\text{x} < 0\) के लिए \(\tfrac{1}{2}\,I_{z}\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2}\right)\)। संख्यात्मक स्थिरता के लिए हम घनत्व की गणना लॉग स्पेस में Lanczos log-gamma सन्निकटन से करते हैं और अपूर्ण बीटा को Lentz सतत भिन्न (continued fraction) विधि से।

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f(x) वक्र की ऊँचाई है, P(T≤x) बाईं ओर का छायांकित क्षेत्र है, और Q शेष दाहिनी पूँछ है।

हल किया हुआ उदाहरण

\(\text{x} = 1.0\) और \(\nu = 10\) के लिए: घनत्व \(f(1) \approx 0.2304\)। निचली संचयी प्रायिकता \(P(T \le 1.0) \approx 0.8303\), इसलिए ऊपरी संचयी प्रायिकता \(Q \approx 0.1697\), जो मानक t-सारणी (t-tables) से मेल खाती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या ν पूर्णांक के अलावा भी हो सकता है? हाँ। यह सूत्र किसी भी वास्तविक \(\nu > 0\) के लिए मान्य है; कैलकुलेटर दशमलव वाली स्वतंत्रता की कोटि भी स्वीकार करता है।

ऊपरी संचयी प्रायिकता का क्या अर्थ है? यह दाहिने पुच्छ का क्षेत्रफल है, यानी P(T > x)। धनात्मक x के साथ द्विपक्षीय (two-sided) p-मान निकालने के लिए आप \(2\cdot Q\) का प्रयोग करेंगे।

बड़े ν पर यह सामान्य वक्र जैसा क्यों दिखता है? जैसे-जैसे स्वतंत्रता की कोटि बढ़ती है, t-वितरण के भारी पुच्छ सिकुड़ते जाते हैं और यह मानक सामान्य वितरण के निकट पहुँच जाता है।