यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल पॉइसन वितरण के पर्सेंटाइल बिंदु की गणना करता है। किसी माध्य (लैम्ब्डा) और एक लक्ष्य संचयी प्रायिकता दिए जाने पर, यह उस प्रायिकता के अनुरूप पूर्णांक घटना-गिनती \(x\) लौटाता है। यह पॉइसन संचयी वितरण फलन (CDF) का इन्वर्स है और दो मोड में काम करता है: निचली संचयी P और ऊपरी संचयी Q।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले एक संचयी मोड चुनें। निचली संचयी P मोड में, लक्ष्य निचले-छोर की प्रायिकता P दर्ज करें; कैलकुलेटर सबसे छोटा पूर्णांक \(x\) लौटाता है जिसके लिए \(P(x, \lambda) \ge P\) हो। ऊपरी संचयी Q मोड में, ऊपरी-छोर की प्रायिकता Q दर्ज करें; यह सबसे बड़ा \(x\) लौटाता है जिसके लिए \(Q(x, \lambda) \ge Q\) हो, और इसके लिए यह साइट x-को-शामिल करने वाली परिपाटी \(Q(x) = 1 - P(x-1)\) का उपयोग करती है। इसके बाद माध्य लैम्ब्डा (घटनाओं की अपेक्षित संख्या) दर्ज करें। सभी इनपुट विमारहित (dimensionless) होते हैं।
सूत्र की व्याख्या
प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) है $$f(t, \lambda) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{t}}{t!}$$ स्थिरता के लिए पद क्रमिक रूप से बनाए जाते हैं: \(\text{term}(0) = e^{-\lambda}\) और \(\text{term}(t) = \text{term}(t-1) \cdot \frac{\lambda}{t}\), जिससे \(\lambda^{t}\) और \(t!\) से होने वाले ओवरफ़्लो से बचा जा सके। निचली संचयी इन पदों का चलता-योग है; ऊपरी संचयी एक इंडेक्स से खिसकाई गई निचली संचयी को 1 में से घटाकर निकाली जाती है।
$$x^{*} = \min\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : \sum_{k=0}^{x} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$
$$x^{*} = \max\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : 1 - \sum_{k=0}^{x-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$
हल किया हुआ उदाहरण
निचले मोड में \(P = 0.3\) और \(\lambda = 5\) के साथ, चलता-संचयी इस प्रकार है: \(P(0)=0.0067\), \(P(1)=0.0404\), \(P(2)=0.1247\), \(P(3)=0.2650\), \(P(4)=0.4405\)। 0.3 तक पहुँचने वाला पहला \(x\) है \(x = 4\)। ऊपरी मोड में \(Q = 0.3\) और \(\lambda = 5\) के साथ, \(Q(6)=0.384\) और \(Q(7)=0.238\), इसलिए वह सबसे बड़ा \(x\) जिसके लिए \(Q \ge 0.3\) है, वह है \(x = 6\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
ऊपरी मोड योग में x को क्यों शामिल करता है? यह साइट \(Q(x) = t = x\) से अनंत तक के योग के रूप में परिभाषित करती है, यानी \(Q(x) = 1 - P(x-1)\), जो आमतौर पर प्रचलित \(P(X > x)\) परिपाटी से अलग है।
जब लैम्ब्डा = 0 हो तो क्या होता है? पूरा द्रव्यमान \(t = 0\) पर केंद्रित रहता है, इसलिए निचला पर्सेंटाइल 0 होता है और किसी भी \(x \ge 1\) के लिए \(Q(x)=0\) होता है।
अगर मैं 0 से 1 के बाहर की प्रायिकता दर्ज करूँ तो? कैलकुलेटर इसे अमान्य चिह्नित कर देगा; प्रायिकताओं को \(0 \le P, Q \le 1\) और \(\lambda \ge 0\) की शर्त पूरी करनी होती है।
