यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल सामान्य Poisson प्रायिकता कैलकुलेटर का उल्टा काम करता है। यहाँ आप किसी ज्ञात माध्य लैम्ब्डा से शुरू करके प्रायिकता निकालने के बजाय, एक ज्ञात संचयी प्रायिकता और एक बिंदु x से शुरुआत करते हैं, और टूल वह Poisson माध्य लैम्ब्डा हल कर देता है जो उसे उत्पन्न करता है। यह क्षमता नियोजन (capacity planning), विश्वसनीयता (reliability) और कतार सिद्धांत (queueing) में बहुत काम आता है — जब आपको एक लक्षित सेवा-स्तर (यानी एक प्रायिकता) पता हो और आपको घटनाओं की अपेक्षित दर निकालनी हो।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले एक संचयी मोड चुनें। निचला संचयी P का मतलब है कि आपने जो प्रायिकता दर्ज की है वह \(P(X \le x)\) है — यानी x या उससे कम घटनाओं की संभावना। ऊपरी संचयी Q का मतलब है \(Q(X \ge x)\) — यानी x या उससे अधिक घटनाओं की संभावना। अब संचयी प्रायिकता (0 और 1 के बीच, पर इन दोनों को छोड़कर एक मान) और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गिनती x दर्ज करें, और परिणाम में माध्य लैम्ब्डा देखें।
सूत्र की व्याख्या
Poisson द्रव्यमान फलन है \(f(t, \lambda) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{t}}{t!}\)। निचला संचयी मान t = 0 से x तक का योग होता है $$\sum_{k=0}^{\text{x}} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$ और जैसे-जैसे लैम्ब्डा बढ़ता है, यह घटता जाता है। ऊपरी संचयी \(Q(x, \lambda) = 1 - P(x-1, \lambda)\) होता है, जो \(x \ge 1\) के लिए लैम्ब्डा बढ़ने के साथ बढ़ता है। $$1 - \sum_{k=0}^{\text{x}-1} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$ चूँकि प्रत्येक संचयी मान लैम्ब्डा के सापेक्ष पूरी तरह एकदिशीय (strictly monotonic) है, इसलिए केवल एक ही अद्वितीय हल मौजूद होता है। कैलकुलेटर इसे एक मज़बूत द्विभाजन (bisection) मूल-खोजक से निकालता है, जिसकी गणना स्थिर पुनरावृत्तीय पद-गुणन से होती है (इसलिए factorial की कोई ओवरफ़्लो समस्या नहीं आती)।
हल किया हुआ उदाहरण
निचला मोड, \(P = 0.6\), \(x = 5\) लें। हमें पहले छह Poisson पदों का योग 0.6 के बराबर करना है। \(\lambda = 5.0\) आज़माने पर P लगभग 0.616 आता है (बहुत अधिक), \(\lambda = 5.1\) पर लगभग 0.597, और \(\lambda = 5.08\) पर लगभग 0.600। यानी लैम्ब्डा लगभग 5.083 अपेक्षित घटनाएँ है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
प्रायिकता ठीक 0 और 1 के बीच ही क्यों होनी चाहिए? ठीक 0 या ठीक 1 की प्रायिकता लैम्ब्डा को सीमा (0 या अनंत) की ओर धकेल देती है, इसलिए कोई परिमित अद्वितीय माध्य मौजूद नहीं रहता।
ऊपरी मोड में x = 0 होने पर क्या होता है? हर लैम्ब्डा के लिए \(Q(0, \lambda)\) हमेशा 1 ही रहता है, इसलिए माध्य अपरिभाषित हो जाता है; इस विशेष स्थिति में टूल 0 लौटाता है।
क्या x का पूर्णांक होना ज़रूरी है? हाँ। मानक Poisson व्याख्या में x एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गिनती होती है; गैर-पूर्णांक मानों को काटकर पूर्णांक बना दिया जाता है।
