ماذا تفعل هذه الحاسبة
هذه الأداة هي العملية العكسية لحاسبة احتمال بواسون المعتادة. فبدلًا من البدء من متوسط معلوم لامدا وحساب الاحتمال، تنطلق هنا من احتمال تراكمي معلوم ونقطة مئينية x، ثم تحسب الأداة متوسط بواسون لامدا الذي يؤدي إليه. وهذا مفيد في تخطيط السعة والموثوقية وأنظمة الطوابير عندما تعرف مستوى خدمة مستهدفًا (احتمالًا معينًا) وتحتاج إلى معدل الأحداث المتوقع الكامن وراءه.
كيفية الاستخدام
اختر وضع التراكم. يعني التراكم الأدنى P أن الاحتمال الذي تُدخله هو \( \text{P}(X \le x) \)، أي احتمال وقوع x حدثًا أو أقل. أما التراكم الأعلى Q فيعني أنه \( \text{Q}(X \ge x) \)، أي احتمال وقوع x حدثًا أو أكثر. أدخل الاحتمال التراكمي (قيمة محصورة تمامًا بين 0 و1) وعدد الأحداث الصحيح غير السالب x، ثم اقرأ قيمة المتوسط لامدا.
شرح المعادلة
دالة كتلة بواسون هي \( f(t, \lambda) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{t}}{t!} \). التراكم الأدنى هو مجموع الحدود من \( t = 0 \) إلى x، وهو يتناقص كلما زادت لامدا. أما التراكم الأعلى \( \text{Q}(x, \lambda) = 1 - \text{P}(x-1, \lambda) \) فيتزايد مع لامدا عندما يكون \( x \ge 1 \). ولأن كل احتمال تراكمي رتيب تمامًا بدلالة لامدا، فإن هناك حلًّا وحيدًا، تجده الحاسبة باستخدام طريقة تنصيف قوية لإيجاد الجذر، يُقيَّم عبر ضرب تكراري مستقر للحدود (دون حدوث طفحان في العاملي).
$$\sum_{k=0}^{\text{x}} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$
مثال محلول
الوضع الأدنى، \( \text{P} = 0.6 \)، \( x = 5 \). نحل المعادلة بجعل مجموع أول ستة حدود من بواسون مساويًا 0.6. باختبار \( \lambda = 5.0 \) نحصل على P يساوي تقريبًا 0.616 (مرتفع جدًا)، وعند \( \lambda = 5.1 \) نحصل على نحو 0.597، وعند \( \lambda = 5.08 \) نحصل على نحو 0.600. وعليه فإن لامدا تساوي تقريبًا 5.083 حدثًا متوقعًا.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون الاحتمال محصورًا تمامًا بين 0 و1؟ الاحتمال الذي يساوي 0 أو 1 بالضبط يدفع لامدا إلى حد طرفي (صفر أو ما لا نهاية)، فلا يوجد متوسط منتهٍ ووحيد.
ماذا يحدث في الوضع الأعلى عندما يكون x = 0؟ القيمة \( \text{Q}(0, \lambda) \) تساوي دائمًا 1 لأي قيمة من لامدا، فيكون المتوسط غير معرَّف؛ وتُعيد الأداة القيمة 0 في هذه الحالة الشاذة.
هل يجب أن يكون x عددًا صحيحًا؟ نعم، ففي التفسير القياسي لبواسون يكون x عددًا صحيحًا غير سالب لعدّ الأحداث؛ أما القيم غير الصحيحة فتُقتطع.
