Công cụ này làm gì
Đây là bài toán ngược của công cụ tính xác suất Poisson thông thường. Thay vì bắt đầu từ giá trị trung bình lambda đã biết rồi tính ra xác suất, ở đây bạn xuất phát từ một xác suất tích lũy đã biết cùng với điểm phân vị x, và công cụ sẽ giải ra giá trị trung bình lambda của phân phối Poisson tương ứng. Cách làm này rất hữu ích trong việc hoạch định công suất, đánh giá độ tin cậy và bài toán hàng đợi — khi bạn đã biết mức dịch vụ mục tiêu (một xác suất) và cần xác định tần suất sự kiện kỳ vọng nằm phía sau nó.
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn chế độ tích lũy. Tích lũy dưới P nghĩa là xác suất bạn nhập vào là P(X ≤ x), tức khả năng xảy ra x sự kiện hoặc ít hơn. Tích lũy trên Q nghĩa là Q(X ≥ x), tức khả năng xảy ra x sự kiện hoặc nhiều hơn. Tiếp theo, nhập xác suất tích lũy (một giá trị nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0 đến 1) và số đếm x là một số nguyên không âm, rồi đọc kết quả trung bình lambda.
Giải thích công thức
Hàm khối xác suất Poisson là \(f(t, \lambda) = \frac{\lambda^{t}\,e^{-\lambda}}{t!}\). Tích lũy dưới là tổng từ \(t = 0\) đến \(x\) và giảm dần khi lambda tăng. Tích lũy trên \(Q(x, \lambda) = 1 - P(x-1, \lambda)\) lại tăng theo lambda khi \(x \ge 1\). Vì mỗi giá trị tích lũy đơn điệu chặt theo lambda nên luôn tồn tại một nghiệm duy nhất.
$$\text{Giải tìm }\lambda:\quad \sum_{k=0}^{x} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = P$$
$$\text{Giải tìm }\lambda:\quad 1 - \sum_{k=0}^{x-1} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = P$$
Công cụ tìm nghiệm này bằng phương pháp chia đôi (bisection) vững chắc, với từng số hạng được tính lặp bằng phép nhân ổn định (nên không bao giờ tràn số do giai thừa).
Ví dụ minh họa
Chế độ dưới, \(P = 0{,}6\), \(x = 5\). Ta cần giải phương trình sao cho tổng sáu số hạng Poisson đầu tiên bằng 0,6. Thử \(\lambda = 5{,}0\) cho P xấp xỉ 0,616 (quá cao), \(\lambda = 5{,}1\) cho khoảng 0,597, còn \(\lambda = 5{,}08\) cho khoảng 0,600. Vậy \(\lambda\) vào khoảng 5,083 sự kiện kỳ vọng.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao xác suất phải nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0 đến 1? Xác suất đúng bằng 0 hoặc 1 sẽ đẩy lambda về biên (0 hoặc vô cùng), do đó không tồn tại giá trị trung bình hữu hạn và duy nhất.
Điều gì xảy ra ở chế độ trên khi x = 0? \(Q(0, \lambda)\) luôn bằng 1 với mọi lambda, nên giá trị trung bình không xác định; trong trường hợp suy biến này công cụ trả về 0.
x có bắt buộc phải là số nguyên không? Đúng vậy. Theo cách hiểu chuẩn của phân phối Poisson, x là số đếm nguyên không âm; nếu nhập số không nguyên thì phần thập phân sẽ bị cắt bỏ.
