Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, alışılmış Poisson olasılık hesaplayıcısının tersini yapar. Bilinen bir ortalama lambdadan yola çıkıp olasılık hesaplamak yerine, bilinen bir kümülatif olasılık ve x yüzdelik noktasından başlar; aracımız da bunu sağlayan Poisson ortalaması lambdayı çözer. Bu yaklaşım; bir hedef hizmet düzeyini (bir olasılığı) bildiğiniz ve buna karşılık gelen beklenen olay oranını bulmanız gereken kapasite planlaması, güvenilirlik analizi ve kuyruk teorisi gibi alanlarda oldukça kullanışlıdır.
Nasıl kullanılır?
Önce bir kümülatif mod seçin. Alt kümülatif P, girdiğiniz olasılığın \(\text{P}(X \le x)\), yani x veya daha az olay görülme olasılığı olduğu anlamına gelir. Üst kümülatif Q ise bu olasılığın \(\text{Q}(X \ge x)\), yani x veya daha fazla olay görülme olasılığı olduğunu ifade eder. Kümülatif olasılığı (0 ile 1 arasında, bu değerleri içermeyen bir sayı) ve negatif olmayan tam sayı x değerini girin; ardından ortalama lambdayı doğrudan okuyun.
Formülün açıklaması
Poisson olasılık kütle fonksiyonu \(f(t, \lambda) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{t}}{t!}\) şeklindedir. Alt kümülatif, t = 0'dan x'e kadar olan terimlerin toplamıdır ve lambda büyüdükçe azalır. Üst kümülatif \(\text{Q}(x, \lambda) = 1 - \text{P}(x-1, \lambda)\) ise \(x \ge 1\) için lambda arttıkça artar.
$$\sum_{k=0}^{\text{x}} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$
Her iki kümülatif de lambdaya göre kesin monoton olduğundan tek bir çözüm vardır. Hesaplayıcı bu çözümü, kararlı yinelemeli terim çarpımıyla (faktöriyel taşması olmadan) değerlendirilen sağlam bir ikiye bölme (bisection) kök bulma yöntemiyle bulur.
Örnek üzerinde çözüm
Alt mod, P = 0,6, x = 5 olsun. İlk altı Poisson teriminin toplamının 0,6'ya eşit olduğu lambdayı çözüyoruz. \(\lambda = 5{,}0\) denendiğinde P yaklaşık \(0{,}616\) çıkar (fazla yüksek), \(\lambda = 5{,}1\) yaklaşık \(0{,}597\) verir ve \(\lambda = 5{,}08\) yaklaşık \(0{,}600\) verir. Dolayısıyla lambda yaklaşık \(5{,}083\) beklenen olaydır.
Sık sorulan sorular
Olasılık neden 0 ile 1 arasında, bu değerleri içermeden olmalı? Tam olarak 0 veya 1 olan bir olasılık, lambdayı bir sınıra (0 ya da sonsuza) iter; bu nedenle sonlu ve tek bir ortalama bulunamaz.
Üst modda x = 0 olduğunda ne olur? \(\text{Q}(0, \lambda)\) her lambda için her zaman 1'dir; bu yüzden ortalama tanımsızdır. Araç, bu sınır durum için 0 döndürür.
x mutlaka tam sayı mı olmalı? Evet. Standart Poisson yorumunda x, negatif olmayan bir tam sayı sayımıdır; tam sayı olmayan değerler aşağı yuvarlanarak kesilir.
