이 계산기의 역할
이 도구는 일반적인 푸아송 확률 계산기를 거꾸로 뒤집은 것입니다. 보통은 평균 \(\lambda\)를 알고 확률을 구하지만, 여기서는 이미 알고 있는 누적확률과 분위점 x에서 출발해 그 값을 만들어 내는 푸아송 평균 \(\lambda\)를 역으로 계산합니다. 목표 서비스 수준(확률)은 정해져 있는데 그 이면의 기대 발생률을 알아야 하는 용량 계획, 신뢰성 분석, 대기행렬(큐잉) 문제에서 특히 유용합니다.
사용 방법
먼저 누적 모드를 선택하세요. 하측 누적 P는 입력한 확률이 \(P(X \le x)\), 즉 사건이 x건 이하로 일어날 확률이라는 뜻입니다. 상측 누적 Q는 \(Q(X \ge x)\), 즉 사건이 x건 이상 일어날 확률을 의미합니다. 이어서 누적확률(0과 1 사이의 값, 양 끝값 제외)과 0 이상의 정수 횟수 x를 입력하면 평균 \(\lambda\)가 바로 표시됩니다.
공식 풀이
푸아송 질량함수는 \(f(t, \lambda) = \frac{\lambda^{t}\,e^{-\lambda}}{t!}\) 입니다. 하측 누적확률은 t = 0부터 x까지의 합으로, \(\lambda\)가 커질수록 감소합니다.
$$\sum_{k=0}^{\text{x}} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$상측 누적확률 \(Q(x, \lambda) = 1 - P(x-1, \lambda)\)는 \(x \ge 1\)일 때 \(\lambda\)가 커질수록 증가합니다.
$$1 - \sum_{k=0}^{\text{x}-1} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$각 누적확률이 \(\lambda\)에 대해 단조함수이기 때문에 해는 유일하게 정해지며, 본 계산기는 안정적인 이분법(bisection) 근 찾기 알고리즘으로 이를 구합니다. 항을 반복적으로 곱해 나가는 방식이라 팩토리얼 오버플로 걱정 없이 안정적으로 계산됩니다.
계산 예시
하측 모드, P = 0.6, x = 5인 경우를 봅시다. 처음 여섯 개 푸아송 항의 합이 0.6이 되는 \(\lambda\)를 찾습니다. \(\lambda = 5.0\)을 넣으면 \(P \approx 0.616\)(너무 큼), \(\lambda = 5.1\)이면 약 0.597, \(\lambda = 5.08\)이면 약 0.600이 됩니다. 따라서 \(\lambda\)는 약 5.083건의 기대 발생 수가 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 확률이 반드시 0과 1 사이여야 하나요? 확률이 정확히 0이나 1이면 \(\lambda\)가 경계값(0 또는 무한대)으로 밀려나기 때문에 유한한 유일 평균이 존재하지 않습니다.
상측 모드에서 x = 0이면 어떻게 되나요? \(Q(0, \lambda)\)는 모든 \(\lambda\)에 대해 항상 1이므로 평균을 정할 수 없습니다. 이런 퇴화 사례에서는 도구가 0을 반환합니다.
x는 꼭 정수여야 하나요? 네. 표준 푸아송 해석에서 x는 0 이상의 정수 횟수입니다. 정수가 아닌 값은 소수점 이하를 버립니다.
