À quoi sert ce calculateur
Cet outil est l'inverse du calculateur de probabilité de Poisson habituel. Plutôt que de partir d'une moyenne lambda connue pour en déduire une probabilité, vous partez ici d'une probabilité cumulée connue et d'un point x, et l'outil retrouve la moyenne lambda de Poisson qui la génère. C'est précieux en planification de capacité, en fiabilité et en théorie des files d'attente : lorsque vous connaissez un niveau de service cible (une probabilité), vous pouvez en déduire le taux d'événements attendu sous-jacent.
Comment l'utiliser
Sélectionnez d'abord un mode cumulé. Le cumul inférieur P signifie que la probabilité saisie correspond à \(P(X \le x)\), c'est-à-dire la probabilité d'observer au plus x événements. Le cumul supérieur Q correspond à \(Q(X \ge x)\), soit la probabilité d'observer au moins x événements. Saisissez ensuite la probabilité cumulée (une valeur strictement comprise entre 0 et 1) ainsi que le nombre entier positif ou nul x, puis lisez la moyenne lambda obtenue.
La formule expliquée
La fonction de masse de Poisson s'écrit $$f(t, \lambda) = \frac{\lambda^{t}\,e^{-\lambda}}{t!}.$$ Le cumul inférieur est la somme pour t allant de 0 à x ; il diminue à mesure que lambda augmente :
$$\sum_{k=0}^{\text{x}} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$Le cumul supérieur \(Q(x, \lambda) = 1 - P(x-1, \lambda)\) croît avec lambda dès que \(x \ge 1\) :
$$1 - \sum_{k=0}^{\text{x}-1} \frac{\lambda^{k}\,e^{-\lambda}}{k!} = \text{P}$$Comme chaque cumul est strictement monotone en lambda, la solution est unique : le calculateur la détermine par une méthode de dichotomie robuste, évaluée grâce à une multiplication itérative et stable des termes (sans risque de débordement lié à la factorielle).
Exemple détaillé
Mode inférieur, \(P = 0{,}6\), \(x = 5\). On cherche le lambda pour lequel la somme des six premiers termes de Poisson vaut 0,6. Avec \(\lambda = 5{,}0\), on obtient \(P \approx 0{,}616\) (trop élevé) ; avec \(\lambda = 5{,}1\), environ \(0{,}597\) ; et avec \(\lambda = 5{,}08\), environ \(0{,}600\). La moyenne lambda vaut donc environ \(5{,}083\) événements attendus.
FAQ
Pourquoi la probabilité doit-elle être strictement comprise entre 0 et 1 ? Une probabilité exactement égale à 0 ou à 1 repousse lambda vers une borne (0 ou l'infini) : aucune moyenne finie et unique n'existe alors.
Que se passe-t-il en mode supérieur avec \(x = 0\) ? \(Q(0, \lambda)\) vaut toujours 1 quel que soit lambda ; la moyenne est donc indéterminée et l'outil renvoie 0 dans ce cas dégénéré.
x doit-il être un entier ? Oui : dans l'interprétation classique de Poisson, x est un comptage entier positif ou nul ; les valeurs non entières sont tronquées.
