Qu'est-ce que la probabilité binomiale cumulée ?
La probabilité binomiale cumulée \(P(X \le k)\) représente la probabilité d'obtenir au plus k succès sur n essais indépendants, chaque essai ayant la même probabilité de succès p. Elle additionne les probabilités binomiales individuelles, de 0 succès jusqu'à k succès. Ce calculateur est universel et s'applique à toute expérience binomiale : lancers de pièce, échantillonnage en contrôle qualité ou tests de type réussite/échec.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez trois valeurs : le nombre d'essais (n), le seuil de succès souhaité (k) et la probabilité de succès par essai (p, une valeur comprise entre 0 et 1). L'outil affiche la probabilité cumulée \(P(X \le k)\) ainsi que plusieurs grandeurs associées : la probabilité exacte \(P(X = k)\), les probabilités de queue à droite \(P(X > k)\) et \(P(X \ge k)\), et la moyenne de la distribution \(n \times p\).
La formule expliquée
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$ Chaque terme fait appel au coefficient binomial \(C(n,i) = n! / (i!(n-i)!)\), qui compte le nombre de façons d'obtenir i succès, multiplié par \(p^i\) (la probabilité de ces succès) et \((1-p)^{n-i}\) (la probabilité des échecs restants). En sommant ces termes de \(i = 0\) à \(k\), on obtient la valeur cumulée. Pour rester numériquement stable lorsque n est grand, le calculateur construit chaque terme à partir du précédent grâce au rapport \(\frac{n-i}{i+1} \times \frac{p}{1-p}\).
Exemple détaillé
Supposons que vous lanciez 10 fois une pièce équilibrée (\(n = 10\), \(p = 0{,}5\)) et que vous cherchiez la probabilité d'obtenir au plus 3 faces (\(k = 3\)). Les quatre termes concernés sont $$C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176,$$ chacun multiplié par \(0{,}5^{10} = 1/1024\). On obtient donc $$P(X \le 3) = 176/1024 = 0{,}171875.$$
Interpréter Votre Résultat
P(X ≤ k) est une probabilité cumulative. Elle répond à la question « quelle est la chance d'obtenir au plus k réussites ? » en additionnant les probabilités de 0, 1, 2, …, jusqu'à k réussites. Elle est toujours entre 0 et 1 et ne diminue jamais à mesure que k augmente.
P(X = k) est un point unique. C'est la probabilité d'exactement k réussites — un terme dans la somme cumulative. Donc \(P(X\le k)\) est toujours au moins aussi grande que \(P(X=k)\), et \(P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)\).
Les deux queues. La queue droite \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) est la chance d'obtenir plus que k réussites, tandis que \(P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)\) inclut k lui-même. Puisque la variable est un nombre entier de réussites, la complémentaire de \(P(X\ge k)=P(X\le k-1)\) est une source courante de confusion — vérifiez toujours si la valeur seuil k doit être comptée ou non.
La moyenne. Le nombre attendu de réussites est \(\mu = n\cdot p\). Pour n = 20 essais avec p = 0,05 cela représente \(\mu = 1\) défaut en moyenne ; pour n = 10 avec p = 0,9 c'est \(\mu = 9\). Comparer votre k à la moyenne vous indique si vous regardez un résultat probable (k proche de \(n\cdot p\)) ou un événement de queue (k loin de celui-ci).
Lire un nombre comme 0,17. Un résultat de \(P(X\le k)=0,17\) signifie qu'il y a 17 % de chance d'obtenir au plus k réussites — et donc 83 % de chance d'en obtenir plus que k. Multipliez par 100 pour le lire en pourcentage.
Quand la queue droite importe. Les probabilités de la queue droite sont essentielles aux seuils de décision et aux tests d'hypothèse. Si vous observez k réussites et voulez savoir à quel point c'est surprenant selon une p supposée, la valeur de la queue supérieure \(P(X\ge k)\) agit comme une p-valeur unilatérale : une petite valeur (généralement inférieure à 0,05) suggère que le résultat est improbable par le seul hasard. C'est ainsi que les plans d'acceptation-échantillonnage définissent un nombre maximal tolérable de défauts et comment les tests A/B signalent les comptes de réussite inhabituellement élevés.
Définitions et Glossaire
- n — nombre d'essais. Le nombre fixe de répétitions indépendantes de l'expérience (par exemple 20 articles inspectés, 10 lancers de pièce).
- k — seuil de réussite. Le nombre de réussites d'intérêt. Dans \(P(X\le k)\) c'est le plus grand nombre de réussites inclus dans la somme cumulative ; \(k\) est un nombre entier de 0 à n.
- p — probabilité de réussite. La chance d'une « réussite » lors d'un seul essai, la même pour chaque essai, avec \(0\le p\le 1\).
- Réussite / échec. Les deux résultats mutuellement exclusifs de chaque essai. « Réussite » est simplement le résultat que vous comptez ; son complémentaire, « échec », a la probabilité \(1-p\).
- Coefficient binomial C(n, i). Écrit \(\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\), il compte le nombre de façons distinctes d'arranger i réussites parmi n essais.
- Probabilité cumulative. \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), la probabilité totale de k ou moins de réussites.
- Probabilité de queue. La probabilité à une extrémité de la distribution : la queue droite (supérieure) \(P(X>k)=1-P(X\le k)\), ou la queue supérieure inclusive \(P(X\ge k)\). Utilisée pour les seuils et les p-valeurs.
- Moyenne (valeur attendue). \(\mu = n\cdot p\), le nombre moyen à long terme de réussites par n essais.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre \(P(X \le k)\) et \(P(X = k)\) ? \(P(X = k)\) est la probabilité d'obtenir exactement k succès, tandis que \(P(X \le k)\) additionne tous les résultats de 0 jusqu'à k inclus.
Comment obtenir \(P(X \ge k)\) ? Utilisez la relation \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k) + P(X = k)\), que cet outil calcule automatiquement.
p peut-il valoir 0 ou 1 ? Oui. Si \(p = 0\), le succès est impossible, donc \(P(X \le k) = 1\) pour tout \(k \ge 0\) ; si \(p = 1\), tous les essais réussissent.
