什麼是累積二項機率？
累積二項機率 \(P(X \le k)\) 代表在 n 次獨立試驗中，最多出現 k 次成功的機率，其中每一次試驗的成功機率 p 都相同。它等於把「0 次成功」一直累加到「k 次成功」的各個二項機率全部相加。這個計算器適用於任何二項實驗，例如丟硬幣、品質管制抽樣，或各種通過／不通過的測試。
計算器使用方式
請輸入三個數值：試驗次數（n）、作為門檻的成功次數（k），以及每次試驗的成功機率（p，介於 0 到 1 之間）。計算器會回傳累積機率 \(P(X \le k)\)，並附上幾個相關結果：恰好 k 次成功的機率 \(P(X = k)\)、右尾機率 \(P(X > k)\) 與 \(P(X \ge k)\)，以及分配的平均值 \(n \times p\)。
公式說明
每一項都會用到二項係數 \(C(n,i) = \dfrac{n!}{i!(n-i)!}\)，它計算 i 次成功有多少種排列方式，再乘上 \(p^i\)（出現這些成功的機率）與 \((1-p)^{n-i}\)（其餘失敗的機率）。把 i = 0 到 k 的各項加總，就得到累積值。完整公式為：
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$為了在 n 很大時仍維持數值穩定，計算器會利用比值 \(\dfrac{n-i}{i+1} \times \dfrac{p}{1-p}\) 由前一項推導出下一項。
實際範例
假設你丟一枚公正硬幣 10 次（n = 10，p = 0.5），想求「最多出現 3 次正面」的機率（k = 3）。相關的四項為
$$\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{3} = 1 + 10 + 45 + 120 = 176$$每一項都要乘上 \(0.5^{10} = \frac{1}{1024}\)。因此
$$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} = 0.171875$$解釋您的結果
P(X ≤ k) 是累積機率。它回答「得到最多 k 次成功的機率是多少?」的問題，方法是將 0、1、2、...、k 次成功的機率加總。它的值總是在 0 至 1 之間，且隨著 k 增加而不會減少。
P(X = k) 是單一點。它是恰好 k 次成功的機率 — 累積和中的一項。因此 \(P(X\le k)\) 總是至少和 \(P(X=k)\) 一樣大，且 \(P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)\)。
兩條尾部。右尾 \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) 是得到超過 k 次成功的機率，而 \(P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)\) 包含了 k 本身。因為該變數是成功次數的整數，\(P(X\ge k)\) 是 \(P(X\le k-1)\) 的補集，這是常見的混淆點 — 務必檢查截斷值 k 應該被納入或排除。
平均值。預期的成功次數是 \(\mu = n\cdot p\)。對於 n = 20 次試驗且 p = 0.05，即 \(\mu = 1\) 個不良品平均；對於 n = 10 且 p = 0.9，即 \(\mu = 9\)。比較您的 k 與平均值，可以判斷您是在看可能的結果（k 接近 \(n\cdot p\)）或尾部事件（k 離它很遠）。
讀取像 0.17 這樣的數字。結果 \(P(X\le k)=0.17\) 表示得到最多 k 次成功的機率是 17% — 因此得到超過 k 次的機率是 83%。乘以 100 可讀成百分比。
當右尾很重要時。右尾機率是決策門檻和假設檢定的核心。如果您觀察到 k 次成功並想知道在假定的 p 下這有多令人驚訝，上尾值 \(P(X\ge k)\) 作為單邊 p 值：較小的值（通常低於 0.05）表示該結果不太可能純粹由機會造成。這就是驗收取樣計畫如何設定最大可容許不良品數，以及 A/B 測試如何標記異常高的成功計數。
定義與詞彙表
- n — 試驗次數。實驗的固定次數獨立重複（例如 20 個檢驗項目、10 次擲硬幣）。
- k — 成功截斷值。感興趣的成功次數。在 \(P(X\le k)\) 中，它是被納入累積和的最大成功計數；\(k\) 是從 0 到 n 的整數。
- p — 成功機率。單次試驗中「成功」的機率，每次試驗相同，其中 \(0\le p\le 1\)。
- 成功 / 失敗。每次試驗的兩個相互排斥的結果。「成功」就是您要計數的結果；其補集「失敗」的機率為 \(1-p\)。
- 二項係數 C(n, i)。寫為 \(\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\)，它計算在 n 次試驗中排列 i 次成功的不同方式數量。
- 累積機率。\(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\)，k 次或更少成功的總機率。
- 尾部機率。分佈一端的機率：右（上）尾 \(P(X>k)=1-P(X\le k)\)，或包含上尾 \(P(X\ge k)\)。用於門檻和 p 值。
- 平均值（期望值）。\(\mu = n\cdot p\)，每 n 次試驗中成功次數的長期平均值。
常見問題
P(X ≤ k) 和 P(X = k) 有什麼差別？\(P(X = k)\) 是恰好 k 次成功的機率，而 \(P(X \le k)\) 則是把從 0 到 k（含 k）的所有結果機率全部相加。
要怎麼算 P(X ≥ k)？可以利用關係式 \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k) + P(X = k)\)，本工具會自動幫你算出這個值。
p 可以是 0 或 1 嗎？可以。若 p = 0，代表永遠不會成功，因此對任何 \(k \ge 0\) 都有 \(P(X \le k) = 1\)；若 p = 1，則所有試驗都會成功。
