Kümülatif binom olasılığı nedir?
Kümülatif binom olasılığı \(P(X \le \text{k})\), her birinde başarı olasılığı aynı (\(p\)) olan \(n\) bağımsız denemede en çok k başarı elde etme olasılığını verir. Bu değer, 0 başarıdan k başarıya kadar olan tekil binom olasılıklarının toplamından oluşur. Bu hesaplama aracı evrenseldir; yazı-tura atışları, kalite kontrol örneklemeleri ya da geçti/kaldı testleri gibi her türlü binom deneyine uygulanabilir.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Üç değer girin: deneme sayısı (\(n\)), eşik olarak almak istediğiniz başarı sayısı (\(k\)) ve deneme başına başarı olasılığı (\(p\), 0 ile 1 arasında bir değer). Araç, kümülatif olasılık \(P(X \le \text{k})\) değerinin yanı sıra ilgili birkaç büyüklüğü de döndürür: tam olarak k başarı olasılığı \(P(X = \text{k})\), sağ kuyruk olasılıkları \(P(X > \text{k})\) ve \(P(X \ge \text{k})\) ile dağılımın ortalaması \(n \times p\).
Formülün açıklaması
Her terim, i başarının kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini sayan binom katsayısı \(C(n,i) = n! / (i!(n-i)!)\) değerini içerir; bu değer \(p^i\) (bu başarıların olasılığı) ve \((1-p)^{n-i}\) (kalan başarısızlıkların olasılığı) ile çarpılır. Bu terimlerin \(i = 0\)'dan \(k\)'ye kadar toplanması kümülatif değeri verir:
$$P(X \le \text{k}) = \sum_{i=0}^{\text{k}} \binom{\text{n}}{i}\, \text{p}^{\,i}\,\left(1-\text{p}\right)^{\text{n}-i}$$Büyük \(n\) değerlerinde sayısal kararlılığı korumak için araç, her terimi bir öncekinden \(\frac{n-i}{i+1} \times \frac{p}{1-p}\) oranını kullanarak hesaplar.
Çözümlü örnek
Hilesiz bir parayı 10 kez attığınızı (\(n = 10\), \(p = 0{,}5\)) ve en çok 3 tura gelme olasılığını (\(k = 3\)) sorduğunuzu varsayalım. İlgili dört terim \(C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176\) olup her biri \(0{,}5^{10} = 1/1024\) ile çarpılır. Böylece \(P(X \le 3) = 176/1024 = 0{,}171875\) bulunur.
Sonucunuzu Yorumlama
P(X ≤ k) bir birikimli olasılıktır. "En fazla k başarı elde etme şansı nedir?" sorusuna cevap verir; 0, 1, 2, …'den k başarısına kadar olan olasılıkları toplayarak bulunur. Her zaman 0 ile 1 arasındadır ve k arttıkça asla azalmaz.
P(X = k) tek bir noktadır. Tam olarak k başarı elde etme olasılığıdır — birikimli toplamda bir terimdir. Bu nedenle \(P(X\le k)\) her zaman en az \(P(X=k)\) kadar büyüktür ve \(P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)\).
İki kuyruk. Sağ kuyruk \(P(X>k)=1-P(X\le k)\), k'den fazla başarı elde etme şansıdır; \(P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)\) ise k'yi de içerir. Değişken tam başarı sayısı olduğundan, \(P(X\ge k)=P(X\le k-1)\)'nin tümleyeni sık karşılaşılan bir yanılgı kaynağıdır — kesme değeri k'nin içine alınıp alınmaması gerektiğini her zaman kontrol edin.
Ortalama. Beklenen başarı sayısı \(\mu = n\cdot p\)'dir. n = 20 denemeli p = 0,05 için ortalama \(\mu = 1\) kusurlu; n = 10 ve p = 0,9 için ise \(\mu = 9\)'dur. k'nizi ortalamayla karşılaştırmak, muhtemel bir sonuç (k, \(n\cdot p\)'ye yakın) mı yoksa kuyruk olayı (k, ondan uzak) mı olduğunu gösterir.
0,17 gibi bir sayı okuma. \(P(X\le k)=0,17\) sonucu, en fazla k başarı elde etme şansının %17 olduğu anlamına gelir — ve bu nedenle k'den fazla elde etme şansı %83'tür. Yüzde olarak okumak için 100 ile çarpın.
Sağ kuyruk önemli olduğunda. Sağ kuyruk olasılıkları, karar eşikleri ve hipotez testinde merkezi öneme sahiptir. k başarı gözlemlerseniz ve varsayılan p altında bunun ne kadar şaşırtıcı olduğunu bilmek istiyorsanız, üst kuyruk değeri \(P(X\ge k)\) tek yönlü p-değeri olarak işlev görür: küçük bir değer (yaygın olarak 0,05'in altında) sonucun yalnızca tesadüf nedeniyle olası olmadığını gösterir. Bu, kabul örneklemesi planlarının maksimum tolere edilebilir kusur sayısını nasıl belirlediğini ve A/B testlerinin olağandışı yüksek başarı sayılarını nasıl işaretlediğini gösterir.
Tanımlar ve Sözlük
- n — deney sayısı. Deneyin sabit bağımsız tekrar sayısı (örneğin 20 incelenen öğe, 10 madeni para atması).
- k — başarı kesme değeri. İlgilenilen başarı sayısı. \(P(X\le k)\)'de birikimli toplamda yer alan en büyük başarı sayısıdır; k, 0'dan n'ye kadar bir tam sayıdır.
- p — başarı olasılığı. Tek bir denemede "başarı" şansı, her deney için aynı, \(0\le p\le 1\) ile.
- Başarı / başarısızlık. Her deneyin iki karşılıklı dışlayan sonucu. "Başarı", sayılan sonuç; tümleyeni olan "başarısızlık" \(1-p\) olasılığına sahiptir.
- Binom katsayısı C(n, i). \(\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\) olarak yazılır; n denemede i başarı düzenlemesinin farklı yollarının sayısını hesaplar.
- Birikimli olasılık. \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), k ya da daha az başarı elde etme toplam olasılığı.
- Kuyruk olasılığı. Dağılımın bir ucundaki olasılık: sağ (üst) kuyruk \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) ya da kapsamlı üst kuyruk \(P(X\ge k)\). Eşikler ve p-değerleri için kullanılır.
- Ortalama (beklenen değer). \(\mu = n\cdot p\), n denemede başarı sayısının uzun vadeli ortalaması.
Sıkça sorulan sorular
P(X ≤ k) ile P(X = k) arasındaki fark nedir? \(P(X = \text{k})\) tam olarak k başarı olma olasılığıdır; \(P(X \le \text{k})\) ise 0'dan k'ye kadar (k dahil) tüm sonuçların toplamıdır.
P(X ≥ k) değerini nasıl bulurum? \(P(X \ge \text{k}) = 1 - P(X \le \text{k}) + P(X = \text{k})\) ilişkisini kullanın; bu araç söz konusu değeri otomatik olarak raporlar.
p değeri 0 veya 1 olabilir mi? Evet. \(p = 0\) ise asla başarı elde edemezsiniz; bu durumda her \(k \ge 0\) için \(P(X \le \text{k}) = 1\) olur. \(p = 1\) ise tüm denemeler başarılı olur.
