¿Qué es la probabilidad binomial acumulada?
La probabilidad binomial acumulada \(P(X \le k)\) indica la probabilidad de obtener como máximo k éxitos en n ensayos independientes, en los que cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p. Consiste en sumar las probabilidades binomiales individuales desde 0 éxitos hasta k éxitos. Esta calculadora es de uso general y sirve para cualquier experimento binomial: lanzamientos de moneda, muestreos de control de calidad o pruebas de tipo aprobado/no aprobado.
Cómo usar la calculadora
Introduce tres valores: el número de ensayos (n), el número de éxitos donde quieres situar el límite (k) y la probabilidad de éxito por ensayo (p, un valor entre 0 y 1). La herramienta te devuelve la probabilidad acumulada \(P(X \le k)\) junto con otras magnitudes relacionadas: la probabilidad exacta \(P(X = k)\), las probabilidades de cola derecha \(P(X > k)\) y \(P(X \ge k)\), y la media de la distribución \(n \times p\).
La fórmula explicada
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$
Cada término utiliza el coeficiente binomial \(C(n,i) = n! / (i!(n-i)!)\), que cuenta de cuántas maneras pueden producirse i éxitos, multiplicado por \(p^i\) (la probabilidad de esos éxitos) y por \((1-p)^{n-i}\) (la probabilidad de los fracasos restantes). Al sumar estos términos desde \(i = 0\) hasta \(k\) se obtiene el valor acumulado. Para mantener la estabilidad numérica con valores grandes de n, la calculadora construye cada término a partir del anterior usando la razón \(\frac{n-i}{i+1} \times \frac{p}{1-p}\).
Ejemplo resuelto
Imagina que lanzas una moneda equilibrada 10 veces (\(n = 10\), \(p = 0{,}5\)) y quieres saber la probabilidad de obtener como máximo 3 caras (\(k = 3\)). Los cuatro términos relevantes son $$C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176,$$ cada uno multiplicado por \(0{,}5^{10} = 1/1024\). Por tanto, $$P(X \le 3) = 176/1024 = 0{,}171875.$$
Interpretación de tu resultado
P(X ≤ k) es una probabilidad acumulada. Responde a la pregunta "¿cuál es la probabilidad de obtener como máximo k éxitos?" sumando las probabilidades de 0, 1, 2, …, hasta k éxitos. Siempre está entre 0 y 1 y nunca disminuye conforme k aumenta.
P(X = k) es un punto único. Es la probabilidad de exactamente k éxitos — un término en la suma acumulada. Por lo tanto, \(P(X\le k)\) siempre es al menos tan grande como \(P(X=k)\), y \(P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)\).
Las dos colas. La cola derecha \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) es la probabilidad de más de k éxitos, mientras que \(P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)\) incluye a k mismo. Debido a que la variable es un número entero de éxitos, el complemento de \(P(X\ge k)=P(X\le k-1)\) es un punto de confusión común — siempre verifica si el valor límite k debe incluirse o no.
La media. El número esperado de éxitos es \(\mu = n\cdot p\). Para n = 20 ensayos con p = 0,05 eso es \(\mu = 1\) defecto en promedio; para n = 10 con p = 0,9 es \(\mu = 9\). Comparar tu k con la media te dice si estás observando un resultado probable (k cerca de \(n\cdot p\)) o un evento en la cola (k lejos de ella).
Lectura de un número como 0,17. Un resultado de \(P(X\le k)=0,17\) significa que hay una probabilidad del 17% de obtener como máximo k éxitos — y por lo tanto una probabilidad del 83% de obtener más de k. Multiplica por 100 para leerlo como un porcentaje.
Cuándo importa la cola derecha. Las probabilidades de cola derecha son fundamentales para los umbrales de decisión y las pruebas de hipótesis. Si observas k éxitos y quieres saber cuán sorprendente es eso bajo una p asumida, el valor de cola superior \(P(X\ge k)\) actúa como un valor p unilateral: un valor pequeño (comúnmente menor a 0,05) sugiere que el resultado es poco probable solo por azar. Así es cómo los planes de muestreo de aceptación establecen un número máximo tolerable de defectos y cómo las pruebas A/B señalan conteos de éxito inusualmente altos.
Definiciones y glosario
- n — número de ensayos. El recuento fijo de repeticiones independientes del experimento (p. ej. 20 artículos inspeccionados, 10 lanzamientos de moneda).
- k — límite de éxito. El número de éxitos de interés. En \(P(X\le k)\) es el mayor recuento de éxitos incluido en la suma acumulada; \(k\) es un número entero de 0 a n.
- p — probabilidad de éxito. La probabilidad de un "éxito" en un solo ensayo, la misma para cada ensayo, con \(0\le p\le 1\).
- Éxito / fracaso. Los dos resultados mutuamente excluyentes de cada ensayo. "Éxito" es simplemente el resultado que estás contando; su complemento, "fracaso", tiene probabilidad \(1-p\).
- Coeficiente binomial C(n, i). Escrito como \(\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\), cuenta el número de formas distintas de organizar i éxitos entre n ensayos.
- Probabilidad acumulada. \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), la probabilidad total de k o menos éxitos.
- Probabilidad de cola. La probabilidad en un extremo de la distribución: la cola derecha (superior) \(P(X>k)=1-P(X\le k)\), o la cola superior inclusiva \(P(X\ge k)\). Se utiliza para umbrales y valores p.
- Media (valor esperado). \(\mu = n\cdot p\), el número promedio a largo plazo de éxitos por cada n ensayos.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre \(P(X \le k)\) y \(P(X = k)\)? \(P(X = k)\) es la probabilidad de obtener exactamente k éxitos, mientras que \(P(X \le k)\) suma todos los resultados desde 0 hasta k, ambos incluidos.
¿Cómo obtengo \(P(X \ge k)\)? Aplica la relación \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k) + P(X = k)\), que esta herramienta calcula de forma automática.
¿Puede valer p 0 o 1? Sí. Si \(p = 0\), nunca se produce un éxito, así que \(P(X \le k) = 1\) para cualquier \(k \ge 0\); si \(p = 1\), todos los ensayos resultan en éxito.
