संचयी द्विपद प्रायिकता क्या है?

संचयी द्विपद प्रायिकता $P(X \le k)$ यह बताती है कि n स्वतंत्र परीक्षणों में अधिक से अधिक k सफलताएं मिलने की कितनी संभावना है, जबकि हर परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p समान रहती है। यह 0 सफलताओं से लेकर k सफलताओं तक की सभी अलग-अलग द्विपद प्रायिकताओं को जोड़कर परिणाम देती है। यह कैलकुलेटर सार्वभौमिक है और किसी भी द्विपद प्रयोग पर लागू होता है — जैसे सिक्का उछालना, गुणवत्ता-नियंत्रण नमूनाकरण, या पास/फेल जांच।

द्विपद बंटन का बार चार्ट जिसमें संचयी प्रायिकता दिखाने के लिए k तक की पट्टियाँ छायांकित हैं — द्विपद बंटन में P(X≤k) 0 से k तक की छायांकित पट्टियों का योग है।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

तीन मान भरें: परीक्षणों की संख्या (n), जिस सीमा तक सफलताएं चाहिए वह संख्या (k), और प्रति परीक्षण सफलता की प्रायिकता (p, जो 0 और 1 के बीच का मान होता है)। यह टूल संचयी प्रायिकता $P(X \le k)$ के साथ-साथ कई संबंधित मान भी देता है: ठीक k सफलताओं की प्रायिकता $P(X = k)$, दायीं-पुच्छ प्रायिकताएं $P(X > k)$ और $P(X \ge k)$, तथा बंटन का माध्य $n \times p$।

सूत्र की व्याख्या

हर पद में द्विपद गुणांक $C(n,i) = \frac{n!}{i!(n-i)!}$ का उपयोग होता है, जो यह गिनता है कि i सफलताएं कितने तरीकों से घटित हो सकती हैं। इसे $p^i$ (उन सफलताओं की प्रायिकता) और $(1-p)^{n-i}$ (शेष असफलताओं की प्रायिकता) से गुणा किया जाता है। इन पदों को i = 0 से k तक जोड़ने पर संचयी मान प्राप्त होता है:

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$

बड़े n के लिए संख्यात्मक रूप से स्थिर रहने हेतु, कैलकुलेटर प्रत्येक पद को पिछले पद से अनुपात $\frac{n-i}{i+1} \times \frac{p}{1-p}$ का उपयोग करके बनाता है।

द्विपद बार चार्ट पर P(X<k), P(X=k), P(X>k) क्षेत्रों को दर्शाता आरेख — बंटन संचयी क्षेत्र P(X≤k) और ऊपरी पुच्छ P(X>k) में बँटता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए आप एक न्यायसंगत सिक्के को 10 बार उछालते हैं (n = 10, p = 0.5) और अधिक से अधिक 3 चित (k = 3) आने की प्रायिकता पूछते हैं। चार संबंधित पद हैं $C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176$, और प्रत्येक को $0.5^{10} = \frac{1}{1024}$ से गुणा किया जाता है। अतः $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} = 0.171875$$

आपके परिणाम की व्याख्या करना

P(X ≤ k) एक संचयी संभावना है। यह "अधिकतम k सफलताएँ मिलने की संभावना क्या है?" का उत्तर देता है - 0, 1, 2, …, k सफलताओं तक की संभावनाओं को जोड़कर। यह हमेशा 0 और 1 के बीच होती है और k बढ़ने पर कभी घटती नहीं है।

P(X = k) एक एकल बिंदु है। यह ठीक k सफलताओं की संभावना है — संचयी योग में एक पद। इसलिए $P(X\le k)$ हमेशा $P(X=k)$ से कम से कम उतना बड़ा होता है, और $P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)$।

दोनों पूँछें। दाईं पूँछ $P(X>k)=1-P(X\le k)$ k से अधिक सफलताओं की संभावना है, जबकि $P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)$ में k स्वयं शामिल है। क्योंकि चर सफलताओं की एक पूरी संख्या है, $P(X\ge k)=P(X\le k-1)$ के पूरक को अक्सर भ्रमित किया जाता है — हमेशा जांचें कि क्या कटऑफ मान k को शामिल या बाहर किया जाना चाहिए।

माध्य। सफलताओं की अपेक्षित संख्या $\mu = n\cdot p$ है। n = 20 परीक्षणों के साथ p = 0.05 के लिए यह $\mu = 1$ औसतन खराब है; n = 10 के साथ p = 0.9 के लिए यह $\mu = 9$ है। अपने k को माध्य से तुलना करने से आप बता सकते हैं कि क्या आप संभावित परिणाम देख रहे हैं (k के निकट $n\cdot p$) या पूँछ की घटना (k से दूर)।

0.17 जैसी संख्या को पढ़ना। $P(X\le k)=0.17$ का परिणाम मतलब है कि अधिकतम k सफलताएँ मिलने की 17% संभावना है — और इसलिए k से अधिक मिलने की 83% संभावना है। इसे प्रतिशत के रूप में पढ़ने के लिए 100 से गुणा करें।

जब दाईं पूँछ मायने रखती है। दाईं-पूँछ संभावनाएँ निर्णय सीमाओं और परिकल्पना परीक्षण के लिए केंद्रीय होती हैं। यदि आप k सफलताएँ देखते हैं और जानना चाहते हैं कि यह मान लिए गए p के तहत कितना आश्चर्यजनक है, तो ऊपरी-पूँछ मान $P(X\ge k)$ एक-पक्षीय p-मान के रूप में कार्य करता है: एक छोटा मान (आमतौर पर 0.05 के नीचे) सुझाता है कि परिणाम केवल संयोग से असंभव है। यह वह तरीका है जिससे स्वीकृति-नमूने की योजनाएँ खराब की अधिकतम सहनीय संख्या निर्धारित करती हैं और A/B परीक्षण असामान्य रूप से उच्च सफलता गणना को ध्वजांकित करते हैं।

परिभाषाएँ और शब्दावली

n — परीक्षणों की संख्या। प्रयोग के स्वतंत्र दोहराव की निश्चित संख्या (जैसे 20 निरीक्षित वस्तुएँ, 10 सिक्के के उछाल)।
k — सफलता कटऑफ। ब्याज की सफलताओं की संख्या। $P(X\le k)$ में यह सबसे बड़ी सफलता गणना है जो संचयी योग में शामिल है; $k$ 0 से n तक एक पूरी संख्या है।
p — सफलता संभावना। एक एकल परीक्षण पर "सफलता" की संभावना, हर परीक्षण के लिए समान, $0\le p\le 1$ के साथ।
सफलता / विफलता। प्रत्येक परीक्षण के दो परस्पर एकमात्र परिणाम। "सफलता" वह परिणाम है जिसे आप गिन रहे हैं; इसका पूरक, "विफलता," की संभावना $1-p$ है।
द्विपद गुणांक C(n, i)। लिखा $\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}$, यह n परीक्षणों के बीच i सफलताओं को व्यवस्थित करने के विशिष्ट तरीकों की संख्या गिनता है।
संचयी संभावना। $P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$, k या उससे कम सफलताओं की कुल संभावना।
पूँछ संभावना। वितरण के एक छोर में संभावना: दाईं (ऊपरी) पूँछ $P(X>k)=1-P(X\le k)$, या समावेशी ऊपरी पूँछ $P(X\ge k)$। सीमाओं और p-मानों के लिए उपयोग किया जाता है।
माध्य (अपेक्षित मान)। $\mu = n\cdot p$, n परीक्षणों के दीर्घकालीन औसत सफलताएँ।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

$P(X \le k)$ और $P(X = k)$ में क्या अंतर है? $P(X = k)$ ठीक k सफलताओं की प्रायिकता है, जबकि $P(X \le k)$ में 0 से लेकर k तक (k सहित) के सभी परिणाम जोड़े जाते हैं।

$P(X \ge k)$ कैसे निकालें? संबंध $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k) + P(X = k)$ का उपयोग करें, जिसे यह टूल अपने आप दिखा देता है।

क्या p का मान 0 या 1 हो सकता है? हां। यदि p = 0 हो, तो आप कभी सफल नहीं हो सकते, इसलिए किसी भी $k \ge 0$ के लिए $P(X \le k) = 1$ होगा; और यदि p = 1 हो, तो सभी परीक्षण सफल होते हैं।

ठीक P(X = k)	0.117188
P(X > k)	0.828125
P(X ≥ k)	0.945312
Mean (n × p)	5

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