संचयी द्विपद प्रायिकता क्या है?
संचयी द्विपद प्रायिकता \(P(X \le k)\) यह बताती है कि n स्वतंत्र परीक्षणों में अधिक से अधिक k सफलताएं मिलने की कितनी संभावना है, जबकि हर परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p समान रहती है। यह 0 सफलताओं से लेकर k सफलताओं तक की सभी अलग-अलग द्विपद प्रायिकताओं को जोड़कर परिणाम देती है। यह कैलकुलेटर सार्वभौमिक है और किसी भी द्विपद प्रयोग पर लागू होता है — जैसे सिक्का उछालना, गुणवत्ता-नियंत्रण नमूनाकरण, या पास/फेल जांच।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन मान भरें: परीक्षणों की संख्या (n), जिस सीमा तक सफलताएं चाहिए वह संख्या (k), और प्रति परीक्षण सफलता की प्रायिकता (p, जो 0 और 1 के बीच का मान होता है)। यह टूल संचयी प्रायिकता \(P(X \le k)\) के साथ-साथ कई संबंधित मान भी देता है: ठीक k सफलताओं की प्रायिकता \(P(X = k)\), दायीं-पुच्छ प्रायिकताएं \(P(X > k)\) और \(P(X \ge k)\), तथा बंटन का माध्य \(n \times p\)।
सूत्र की व्याख्या
हर पद में द्विपद गुणांक \(C(n,i) = \frac{n!}{i!(n-i)!}\) का उपयोग होता है, जो यह गिनता है कि i सफलताएं कितने तरीकों से घटित हो सकती हैं। इसे \(p^i\) (उन सफलताओं की प्रायिकता) और \((1-p)^{n-i}\) (शेष असफलताओं की प्रायिकता) से गुणा किया जाता है। इन पदों को i = 0 से k तक जोड़ने पर संचयी मान प्राप्त होता है:
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$बड़े n के लिए संख्यात्मक रूप से स्थिर रहने हेतु, कैलकुलेटर प्रत्येक पद को पिछले पद से अनुपात \(\frac{n-i}{i+1} \times \frac{p}{1-p}\) का उपयोग करके बनाता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए आप एक न्यायसंगत सिक्के को 10 बार उछालते हैं (n = 10, p = 0.5) और अधिक से अधिक 3 चित (k = 3) आने की प्रायिकता पूछते हैं। चार संबंधित पद हैं \(C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3) = 1 + 10 + 45 + 120 = 176\), और प्रत्येक को \(0.5^{10} = \frac{1}{1024}\) से गुणा किया जाता है। अतः $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} = 0.171875$$
आपके परिणाम की व्याख्या करना
P(X ≤ k) एक संचयी संभावना है। यह "अधिकतम k सफलताएँ मिलने की संभावना क्या है?" का उत्तर देता है - 0, 1, 2, …, k सफलताओं तक की संभावनाओं को जोड़कर। यह हमेशा 0 और 1 के बीच होती है और k बढ़ने पर कभी घटती नहीं है।
P(X = k) एक एकल बिंदु है। यह ठीक k सफलताओं की संभावना है — संचयी योग में एक पद। इसलिए \(P(X\le k)\) हमेशा \(P(X=k)\) से कम से कम उतना बड़ा होता है, और \(P(X\le k)-P(X\le k-1)=P(X=k)\)।
दोनों पूँछें। दाईं पूँछ \(P(X>k)=1-P(X\le k)\) k से अधिक सफलताओं की संभावना है, जबकि \(P(X\ge k)=P(X>k)+P(X=k)\) में k स्वयं शामिल है। क्योंकि चर सफलताओं की एक पूरी संख्या है, \(P(X\ge k)=P(X\le k-1)\) के पूरक को अक्सर भ्रमित किया जाता है — हमेशा जांचें कि क्या कटऑफ मान k को शामिल या बाहर किया जाना चाहिए।
माध्य। सफलताओं की अपेक्षित संख्या \(\mu = n\cdot p\) है। n = 20 परीक्षणों के साथ p = 0.05 के लिए यह \(\mu = 1\) औसतन खराब है; n = 10 के साथ p = 0.9 के लिए यह \(\mu = 9\) है। अपने k को माध्य से तुलना करने से आप बता सकते हैं कि क्या आप संभावित परिणाम देख रहे हैं (k के निकट \(n\cdot p\)) या पूँछ की घटना (k से दूर)।
0.17 जैसी संख्या को पढ़ना। \(P(X\le k)=0.17\) का परिणाम मतलब है कि अधिकतम k सफलताएँ मिलने की 17% संभावना है — और इसलिए k से अधिक मिलने की 83% संभावना है। इसे प्रतिशत के रूप में पढ़ने के लिए 100 से गुणा करें।
जब दाईं पूँछ मायने रखती है। दाईं-पूँछ संभावनाएँ निर्णय सीमाओं और परिकल्पना परीक्षण के लिए केंद्रीय होती हैं। यदि आप k सफलताएँ देखते हैं और जानना चाहते हैं कि यह मान लिए गए p के तहत कितना आश्चर्यजनक है, तो ऊपरी-पूँछ मान \(P(X\ge k)\) एक-पक्षीय p-मान के रूप में कार्य करता है: एक छोटा मान (आमतौर पर 0.05 के नीचे) सुझाता है कि परिणाम केवल संयोग से असंभव है। यह वह तरीका है जिससे स्वीकृति-नमूने की योजनाएँ खराब की अधिकतम सहनीय संख्या निर्धारित करती हैं और A/B परीक्षण असामान्य रूप से उच्च सफलता गणना को ध्वजांकित करते हैं।
परिभाषाएँ और शब्दावली
- n — परीक्षणों की संख्या। प्रयोग के स्वतंत्र दोहराव की निश्चित संख्या (जैसे 20 निरीक्षित वस्तुएँ, 10 सिक्के के उछाल)।
- k — सफलता कटऑफ। ब्याज की सफलताओं की संख्या। \(P(X\le k)\) में यह सबसे बड़ी सफलता गणना है जो संचयी योग में शामिल है; \(k\) 0 से n तक एक पूरी संख्या है।
- p — सफलता संभावना। एक एकल परीक्षण पर "सफलता" की संभावना, हर परीक्षण के लिए समान, \(0\le p\le 1\) के साथ।
- सफलता / विफलता। प्रत्येक परीक्षण के दो परस्पर एकमात्र परिणाम। "सफलता" वह परिणाम है जिसे आप गिन रहे हैं; इसका पूरक, "विफलता," की संभावना \(1-p\) है।
- द्विपद गुणांक C(n, i)। लिखा \(\binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}\), यह n परीक्षणों के बीच i सफलताओं को व्यवस्थित करने के विशिष्ट तरीकों की संख्या गिनता है।
- संचयी संभावना। \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), k या उससे कम सफलताओं की कुल संभावना।
- पूँछ संभावना। वितरण के एक छोर में संभावना: दाईं (ऊपरी) पूँछ \(P(X>k)=1-P(X\le k)\), या समावेशी ऊपरी पूँछ \(P(X\ge k)\)। सीमाओं और p-मानों के लिए उपयोग किया जाता है।
- माध्य (अपेक्षित मान)। \(\mu = n\cdot p\), n परीक्षणों के दीर्घकालीन औसत सफलताएँ।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(P(X \le k)\) और \(P(X = k)\) में क्या अंतर है? \(P(X = k)\) ठीक k सफलताओं की प्रायिकता है, जबकि \(P(X \le k)\) में 0 से लेकर k तक (k सहित) के सभी परिणाम जोड़े जाते हैं।
\(P(X \ge k)\) कैसे निकालें? संबंध \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k) + P(X = k)\) का उपयोग करें, जिसे यह टूल अपने आप दिखा देता है।
क्या p का मान 0 या 1 हो सकता है? हां। यदि p = 0 हो, तो आप कभी सफल नहीं हो सकते, इसलिए किसी भी \(k \ge 0\) के लिए \(P(X \le k) = 1\) होगा; और यदि p = 1 हो, तो सभी परीक्षण सफल होते हैं।
