"कम से कम k सफलताएँ" द्विपद कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल n स्वतंत्र परीक्षणों में कम से कम k सफलताएँ मिलने की प्रायिकता निकालता है, जहाँ हर परीक्षण समान प्रायिकता p के साथ सफल होता है। यह द्विपद वितरण की ऊपरी-पुच्छ (upper-tail) संचयी प्रायिकता है, जिसे $P(X \geq k)$ के रूप में लिखा जाता है। इसका उपयोग गुणवत्ता नियंत्रण, विश्वसनीयता परीक्षण, A/B टेस्टिंग, सर्वेक्षण और किसी भी ऐसी स्थिति में होता है जो बार-बार दोहराए जाने वाले हाँ/नहीं (बर्नूली) परीक्षणों पर आधारित हो।

इसका उपयोग कैसे करें

तीन मान दर्ज करें: परीक्षणों की संख्या n (एक पूर्ण संख्या), जितनी सफलताओं की आपको कम से कम आवश्यकता है वह न्यूनतम संख्या k, और प्रति-परीक्षण सफलता-प्रायिकता p को 0 और 1 के बीच दशमलव के रूप में (उदाहरण के लिए, 25% के लिए 0.25)। "गणना करें" दबाएँ और देखें $P(X \geq k)$, वही मान प्रतिशत के रूप में, साथ ही ठीक-k की प्रायिकता $P(X = k)$ और निचली पुच्छ $P(X \leq k)$।

सूत्र की व्याख्या

ठीक i सफलताओं की प्रायिकता द्विपद द्रव्यमान फलन $C(n, i)\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}$ होती है, जहाँ $C(n, i)$ यह बताता है कि कौन-से परीक्षण सफल होंगे उन्हें चुनने के कितने तरीके हैं। "कम से कम k" पाने के लिए हम $i = k$ से लेकर $i = n$ तक के सभी पदों का योग करते हैं:

$$P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$

बड़े गुणनखंड (factorials) सीधे निकालने के बजाय, यह कैलकुलेटर संख्यात्मक स्थिरता के लिए हर पद को क्रमिक रूप से बनाता है, इसलिए बड़े n के लिए भी यह सटीक बना रहता है।

द्विपद बंटन का बार चार्ट जिसमें k से n तक की पट्टियाँ छायांकित हैं ताकि कम-से-कम k की पुच्छ प्रायिकता दिखाई जा सके — $P(X \geq k)$ द्विपद बंटन के ऊपरी पुच्छ की छायांकित पट्टियों का योग है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आप एक निष्पक्ष सिक्के ($p = 0.5$) को 10 बार उछालते हैं और कम से कम 6 बार चित (heads) आने की संभावना जानना चाहते हैं। $n = 10$, $k = 6$, $p = 0.5$ के साथ, $i = 6, 7, 8, 9, 10$ के पदों का योग $386/1024 \approx$ 0.376953 होता है, यानी लगभग 37.7%।

आरेख जिसमें प्रति परीक्षण दो सिक्के, सफलता और विफलता के पथ तथा सफलताओं का संयोजनात्मक चयन दिखाया गया है — प्रत्येक सफल परीक्षण $p$ का गुणक और प्रत्येक विफलता $(1-p)$ का गुणक देती है, जिसे $i$ सफलताएँ चुनने के सभी तरीकों पर जोड़ा जाता है।

आपके परिणाम की व्याख्या

$P(X \geq k)$ एक एकल-पक्षीय (ऊपरी-पूंछ) प्रायिकता है: यह पूछता है "यदि सच में सफलता की दर वास्तव में $p$ है, तो मैं $n$ परीक्षणों में $k$ या अधिक सफलताएं देखूंगा कितनी बार, केवल संयोग से?" यह हर परिणाम को बिल्कुल $k$ सफलताओं से लेकर सभी $n$ तक एक साथ बांधता है।

एक छोटा परिणाम — उदाहरण के लिए 0.05 से नीचे — का अर्थ है कि मानी गई $p$ के तहत अवलोकित सफलताओं की संख्या आश्चर्यजनक होगी। यह बिल्कुल एकल-पक्षीय p-मान के पीछे का तर्क है: यदि आप एक आधारभूत दर मानते हैं और आपका डेटा पूंछ में दूर गिरता है, तो धारणा संदेहजनक दिखती है। एक बड़ा परिणाम का अर्थ है कि गणना अप्रभावशाली है और मानी गई $p$ के साथ पूरी तरह सुसंगत है।

A/B परीक्षण। यदि नियंत्रण रूपांतरण दर $p$ है और रूपांतर ने $n$ रूपांतरणों में से $k$ उत्पादित किए, तो $P(X \geq k)$ मापता है कि क्या यह लाभ केवल शोर हो सकता है। एक छोटी पूंछ प्रायिकता इस बात का प्रमाण है कि रूपांतर वास्तव में भिन्न है।
गुणवत्ता नियंत्रण / स्वीकृति प्रतिचयन। मानी गई खराबी दर $p$ के साथ, $P(X \geq k)$ वह मौका है कि एक समूह $n$ के नमूने में $k$ या अधिक खराब दिखाता है — स्वीकार/अस्वीकार नियमों की नींव।
विश्वसनीयता "कम से कम एक"। $k=1$ सेट करने से $n$ स्वतंत्र प्रयासों में कम से कम एक घटना होने की प्रायिकता मिलती है।

बड़े $n$ के लिए, द्विपद पूंछ को अक्सर एक सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जाता है, इसलिए एक सामान्य ऊपरी-पूंछ उपकरण एक सनक्षि जांच के रूप में काम कर सकता है जब $np$ और $n(1-p)$ दोनों लगभग 10 से ऊपर आरामदायक हों। संख्या को अपनी डेटा की मानी गई $p$ के साथ कितनी संगतता है इसके विवरण के रूप में मानें; कार्रवाई के लिए सीमा चुनना एक अध्ययन-डिज़ाइन निर्णय है, कुछ ऐसा नहीं जो प्रायिकता अपने आप पर निर्दिष्ट करता है।

परिभाषाएं और शब्दावली

$n$ — परीक्षणों की संख्या: प्रयोग की स्वतंत्र दोहराई गई निश्चित कुल संख्या (उदाहरण के लिए 20 सिक्का उछाल, 100 प्रतिदर्श भाग)।
$k$ — सफलताओं की न्यूनतम संख्या: जांच की जा रही सीमा। $P(X \geq k)$ बिल्कुल $k, k+1, \dots, n$ सफलताएं प्राप्त करने की संभावनाओं को जोड़ता है।
$p$ — प्रति-परीक्षण सफलता की प्रायिकता: वह प्रायिकता कि कोई भी एकल परीक्षण एक "सफलता" है, हर परीक्षण के लिए समान माना जाता है। यह 0 और 1 के बीच निहित है।
बर्नौली परीक्षण: एक एकल प्रयोग जिसके ठीक दो परिणाम हैं — सफलता (प्रायिकता $p$) या विफलता (प्रायिकता $1-p$)। एक द्विपद सेटिंग $n$ समान, स्वतंत्र बर्नौली परीक्षण है।
द्विपद गुणांक $\binom{n}{i}$: "$n$ चुनें $i$," $n$ परीक्षणों में $i$ सफलताओं को व्यवस्थित करने के विशिष्ट तरीकों की संख्या: $\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}$।
संचयी / ऊपरी-पूंछ प्रायिकता: एक प्रायिकता जो परिणामों की एक श्रृंखला को एकत्रित करती है। $P(X \geq k)$ ऊपरी पूंछ है — यह $k$ से लेकर $n$ तक की सभी गणनाओं के अवसरों को जोड़ता है। इसका पूरक $P(X \leq k-1)$ है।
स्वतंत्रता: यह धारणा कि एक परीक्षण का परिणाम किसी अन्य को प्रभावित नहीं करता। स्वतंत्रता के बिना (और एक स्थिर $p$), द्विपद सूत्र लागू नहीं होता।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या यह मानता है कि परीक्षण स्वतंत्र हैं? हाँ। हर परीक्षण स्वतंत्र होना चाहिए और उसकी सफलता-प्रायिकता p समान होनी चाहिए।

अगर मुझे ठीक k या अधिक से अधिक k चाहिए तो? सुविधा के लिए परिणाम तालिका में $P(X = k)$ और $P(X \leq k)$ भी दिखाए जाते हैं।

क्या p को प्रतिशत में दे सकते हैं? p को दशमलव के रूप में दर्ज करें (जैसे 5% के लिए 0.05), न कि 5 के रूप में।

P(X = k) ठीक k सफलताएँ	0.117188
P(X ≤ k) at most k successes	0.171875

कम से कम k सफलताओं की प्रायिकता (द्विपद वितरण)

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सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम