二项分布"至少 k 次成功"概率计算器 P(X ≥ k)

P(X = k) 恰好 k 次成功	0.117188
P(X ≤ k) at most k successes	0.171875

什么是"至少 k 次成功"二项分布计算器？

这款工具用于计算在 n 次独立试验中获得至少 k 次成功的概率，其中每次试验成功的概率都相同，记为 p。这就是二项分布的右尾累积概率，写作 $P(X \geq k)$。它在质量控制、可靠性测试、A/B 测试、民意调查，以及任何由重复"是/否"判断（即伯努利试验）构成的场景中都被广泛使用。

使用方法

只需输入三个数值：试验次数 n（整数）、你关心的最少成功次数 k，以及单次试验的成功概率 p（用 0 到 1 之间的小数表示，例如 25% 写作 0.25）。点击计算，即可得到 $P(X \geq k)$、对应的百分比形式，以及恰好成功 k 次的概率 $P(X = k)$ 和左尾概率 $P(X \leq k)$。

公式详解

恰好出现 i 次成功的概率由二项分布的概率质量函数给出：$\binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}$，其中 $\binom{n}{i}$ 表示从 n 次试验中选出哪几次成功的组合数。要计算"至少 k 次"，就把从 $i = k$ 到 $i = n$ 的所有项相加：

$$P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\,\left(1-p\right)^{n-i}$$

为保证数值稳定，计算器采用逐项迭代的方式构建每一项，而不是直接计算庞大的阶乘，因此即使 n 很大也能保持精确。

二项分布的柱状图，从 k 到 n 的柱形被着色以显示至少为 k 的尾部概率 — $P(X \geq k)$ 是二项分布上尾阴影柱形的总和。

实例演算

假设你抛一枚均匀硬币（$p = 0.5$）10 次，想知道至少出现 6 次正面的概率。当 $n = 10$、$k = 6$、$p = 0.5$ 时，$i = 6, 7, 8, 9, 10$ 各项之和等于 $$\frac{386}{1024} \approx 0.376953$$ 即约 37.7%。

图示每次试验有两枚硬币，展示成功与失败路径以及成功的组合选择 — 每次成功贡献一个因子 $p$，每次失败贡献一个因子 $(1-p)$，对选出 i 次成功的所有方式求和。

解读您的结果

$P(X \geq k)$ 是一个单侧（右尾）概率：它回答"如果真实的成功率确实是 $p$，我在 $n$ 次试验中恰好见到 $k$ 次或更多成功的概率是多少？"它汇总了从恰好 $k$ 次成功一直到全部 $n$ 次的所有结果。

较小的结果——例如低于 0.05——意味着观察到的成功次数在假设的 $p$ 下会显得令人惊讶。这正是单侧 p 值背后的逻辑：如果您假设一个基线率，而您的数据落在尾部很远的地方，那么这个假设看起来是可疑的。较大的结果意味着这个次数是普通的，完全符合假设的 $p$。

A/B 测试。如果对照转化率是 $p$，而变体在 $n$ 次转化中产生了 $k$ 次，$P(X \geq k)$ 衡量提升是否可能只是噪声。一个很小的尾部概率是变体确实不同的证据。
质量控制/接收抽样。在假设的缺陷率 $p$ 下，$P(X \geq k)$ 是一批产品在大小为 $n$ 的样本中显示 $k$ 个或更多缺陷的概率——这是接受/拒绝规则的基础。
可靠性"至少一个"。设置 $k=1$ 给出在 $n$ 次独立尝试中至少发生一个事件的概率。

对于大的 $n$，二项分布尾通常由正态分布近似，因此当 $np$ 和 $n(1-p)$ 都舒适地高于约 10 时，正态上尾工具可以作为一个健全性检查。将该数字视为对您的数据与假设的 $p$ 的兼容性的描述；选择一个行动阈值是一个研究设计决定，不是概率本身指示的东西。

定义与词汇表

$n$ — 试验次数: 实验的固定总重复次数（例如 20 次硬币翻转、100 个采样零件）。
$k$ — 成功的最小次数: 被测试的阈值。$P(X \geq k)$ 对恰好 $k, k+1, \dots, n$ 次成功的概率求和。
$p$ — 单次试验成功概率: 任何单次试验是"成功"的概率，假设对每次试验都相同。它介于 0 和 1 之间。
伯努利试验: 具有恰好两个结果的单个实验——成功（概率 $p$）或失败（概率 $1-p$）。二项分布设置是 $n$ 个相同、独立的伯努利试验。
二项系数 $\binom{n}{i}$: "n 选 i"，在 $n$ 次试验中排列 $i$ 次成功的不同方式的数量：$\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!\,(n-i)!}$。
累积/上尾概率: 汇总一系列结果的概率。$P(X \geq k)$ 是上尾——它添加从 $k$ 到 $n$ 的所有计数的机会。它的补集是 $P(X \leq k-1)$。
独立性: 一次试验的结果不影响任何其他试验的假设。没有独立性（和常数 $p$），二项分布公式不适用。