这个计算器能做什么
当你把一个独立试验重复 \(n\) 次、每次成功的概率为 \(p\) 时，这个工具可以帮你算出至少成功一次的概率。它采用的是补集法则：与其把恰好成功 1 次、2 次、3 次……的概率逐项加总，不如先算出一次都不成功的概率，再用 1 减去它，这样要简单得多。
使用方法
先把每次试验的成功概率 \(p\) 输入为 0 到 1 之间的小数（例如 10% 的概率就填 0.1），再输入试验次数 \(n\)。计算器会同时给出至少成功一次的概率、一次都不成功的概率，以及对应的百分比形式。
公式详解
如果每次试验失败的概率为 \((1-p)\)，那么 \(n\) 次独立试验全部失败的概率就是 \((1-p)^{n}\)。"至少成功一次"这一事件正好是"一次都不成功"的对立事件，因此它的概率为：
$$P(\geq 1) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$
这个公式的前提是各次试验相互独立，且成功概率 \(p\) 在每次试验中保持不变。
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实例演算
假设某款老虎机每次旋转的中奖概率 \(p = 0.1\)，你一共转了 \(n = 10\) 次。那么一次都不中奖的概率为 \((1-0.1)^{10} = 0.9^{10} \approx 0.3487\)。于是至少中奖一次的概率为 \(1 - 0.3487 \approx 0.6513\)，约等于 65.13%。
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关键术语和变量
- p — 单次试验成功概率
- 单次试验成功的概率，表示为0到1之间的小数（例如0.25表示25%的概率）。假定每次试验都相同。
- n — 试验次数
- 执行的独立重复次数。当\(n\)增加时，至少一次成功的概率增加（或保持不变），逼近但永远不会恰好达到1。
- 独立试验
- 其结果互相不影响的试验；一次试验的结果不会改变任何其他试验的概率\(p\)。独立性是允许失败概率相乘为\((1-p)^n\)的原因。
- 补集规则
- 原理为\(P(\text{事件}) = 1 - P(\text{不是事件})\)。这里，"至少一次成功"是"完全没有成功"的补集，这就是为什么\(P(\ge 1) = 1 - P(\text{没有成功})\)。
- P(≥1) — 至少一次成功的概率
- 计算器返回的数量：在给定\(n\)次试验中一个或多个成功的概率，由\(1 - (1-p)^n\)给出。
- P(没有成功)
- 每次试验都失败的概率，等于\((1-p)^n\)。从1中减去这个值就得到\(P(\ge 1)\)。
常见问题
为什么不能直接把每次试验的概率相加？直接相加会重复计算相互重叠的结果，得到的数值甚至可能超过 1。而补集法则完全避免了这个问题。
如果 \(p\) 是百分数怎么办？先把它换算成小数——比如 25% 要写成 0.25。
这个公式一定要求试验相互独立吗？是的。如果各次试验会相互影响（例如不放回抽样、概率会变化），那么这个简单公式就不再精确适用了。
