这个计算器能做什么
当你把一颗公平的六面骰子掷 n 次(或者一次掷出 n 颗骰子)时,这个工具可以帮你算出至少出现一个六点的概率。它不会去逐一累加"恰好出现一个、两个、三个……六点"的概率,而是采用更简便的"补事件"思路:与"至少一个六点"相反的情况,就是"一个六点都没有"。
使用方法
输入掷骰子的次数(或骰子数量)n,即可同时看到以百分比和小数表示的概率。结果还会显示"完全没有六点"的互补概率,这两个概率相加始终等于 1。
公式解析
掷一颗公平的骰子时,没有掷出六点的概率是 \(\frac{5}{6}\)。由于每次投掷相互独立,n 次投掷全都避开六点的概率就是 \(\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\)。因此,至少出现一个六点的概率就是它的补:
$$P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{n}$$
实例演算
以 \(n = 4\) 次为例:$$\left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \frac{625}{1296} \approx 0.482253$$也就是说,一个六点都没有的概率约为 48.23%,而至少出现一个六点的概率为 \(1 - 0.482253 = 0.517747\),大约是 51.77%。这正是赌徒德·梅雷骑士(Chevalier de Méré)当年下注的著名问题——略微超过 50% 的微弱优势。
常见问题
掷多少次才能让出现六点的概率超过一半? 掷四次约为 51.8%,而掷三次只有约 42.1%。所以四次是首个让概率超过 50% 的最小 \(n\) 值。
把一颗骰子掷 n 次,和一次掷 n 颗骰子,结果会有区别吗? 没有区别。只要骰子公平且各次投掷相互独立,概率就完全相同。
这个公式能用于其他点数,而不只是六点吗? 可以。在标准骰子上,任何一个指定点数出现的概率都相同,因此 \(P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{n}\) 同样适用于计算"至少掷出一个任意指定点数"的概率。